МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Возможна ли такая сеть из 99 телефонов, что каждый соединён ровно с 11 другими?
 

В классах 8^а и 8^б всего 54 человека. Каждый ученик 8^а дружит с четырьмя учениками 8^б, а каждый ученик 8^б дружит с пятью учениками 8^а. Сколько учеников в каждом классе?
 

Каждый из 15 городов соединен дорогами не менее, чем с 7 другими.
а) Докажите, что из любого города можно попасть по этим дорогам в любой другой.
б) А если каждый город соединен не менее, чем с 6 другими?
 

Несколько городов соединены дорогами так, что из любого города можно попасть в любой другой ровно одним способом.
а) Докажите, что хотя бы в один из городов ведёт ровно одна дорога.
б) Докажите, что число городов на 1 больше числа дорог.
 

На рисунке изображена схема мостов Кёнигсберга (ныне Калининград). Можно ли совершить прогулку, пройдя по каждому мосту ровно один раз?
 

а) Начальник секретной службы составил инструкцию взаимной слежки для семи своих агентов: агент 001 следит за тем, кто следит за агентом 002, агент 002 — за тем, кто следит за агентом 003, и так далее; агент 007 следит за тем, кто следит за агентом 001. Удастся ли выполнить эту инструкцию?

б) Можно ли выполнить аналогичную инструкцию для 8 агентов?