МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 6.  Принцип Дирихле

Принцип Дирихле. Если в n ящиках находятся n + 1 или больше кроликов, то хотя бы в одном из ящиков не меньше двух кроликов.

1.  

Из чисел 1, 2, ..., 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?
 

2.  

В классе 25 учеников. а) Докажите, что найдутся 2 ученика, родившиеся в одном и том же месяце. б) Обязательно ли найдутся 3 таких ученика?
 

3.  

На шахматной доске стоят 9 ладей. Докажите, что какие-то две ладьи бьют одна другую.
 

4.  

В автобусе едут 100 пассажиров. Докажите, что среди них найдутся двое, имеющие одинаковое число знакомых в этом автобусе.
 

5.  

Пусть k делится на n. Докажите, что среди любых kn натуральных чисел существуют k натуральных чисел, сумма которых делится на n.
 

6.  

Кузнечик прыгает по круговой дорожке в одном направлении. Все его прыжки одинаковой длины, причём он никогда не попадёт в одно место дважды (то есть отношение длины прыжка кузнечика к длине дорожки иррационально). В одном месте дорожку пересекает ручей. Докажите, что рано или поздно кузнечик попадёт в этот ручей.