МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Найдите заменённую звёздочкой цифру числа 77*649, если оно делится на 7.
 

а) Докажите, что число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 8.
 

Найдите остатки от деления на а) 3; б) 9 числа 1000.
 

Пусть a — цифра, отличная от нуля. Докажите, что остаток от деления числа a00..0 на а) 3; б) 9 такой же, как остаток числа a.
 

Целое число делится на а) 3; б) 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на а) 3; б) 9. Докажите это.
 

Верно ли, что если сумма цифр числа делится на 27, то и само число делится на 27?
 

Докажите, что число 11...1 (81 единица) делится на 81.
 

В числе переставили цифры и получили число, которое в три раза меньше исходного. Докажите, что исходное число делится на 27.
 

Сумма цифр натурального числа a равна 6. Какой может быть сумма цифр числа 3a?
 

Докажите, что натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр с чередующимися знаками делится на 11.