МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 5 (22.10.2011). Пары и чередования

1.

Барон Мюнхаузен, вернувшись из кругосветного путешествия, рассказывает, что по пути он пересёк границу Трапезундии ровно 7 раз. Стоит ли доверять его словам?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. Заметим, что после четного числа пересечений Мюнхаузен будет находиться с той же стороны от границы, что и до этого. Поскольку 7 — нечетное число, такого быть не могло.

2.

В джунглях во время кругосветного путешествия на Мюнхаузена напали пантеры. Когда он проскочил мимо двух из них, они бросились на него, промахнулись и загрызли друг друга. Мюнхаузен повторял этот манёвр ещё раз и ещё, до тех пор, пока все они не загрызли друг друга. По словам Мюнхаузена всего было 97 пантер. Правда ли это?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. Так как каждый раз какие-то две пантеры загрызали друг друга, то после каждого маневра число пантер уменьшалось на 2. В конце пантер не осталось, значит, их было четное число.

3.

Кузнечик прыгает по прямой — каждый раз на 1 метр влево или вправо. Через некоторое время он оказался в исходной точке. Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

Решение

Решение. Пусть A — исходная точка. Заметим, что после каждого прыжка расстояние до точки A меняет четность. Изначально расстояние равно нулю. Значит, когда он вновь попадет в исходную точку, он совершит четное число прыжков.

4.

Из комплекта домино выбросили все кости с «пустышками». Можно ли оставшиеся кости по правилам выложить в ряд?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. Заметим, что число доминошек без пустышек равно 21. Если доминошки удастся выложить в ряд, то число доминошек с каждым числом точек, кроме быть может двух, четно. А это неверно.

5.

За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что количество пар соседей мальчик–девочка и девочка–мальчик чётно.

Решение

Решение. Объединим каждую группу подряд сидящих мальчиков в одного мальчика, а каждую группу подряд сидящих девочек в одну девочку. Тогда поскольку дети одного пола рядом теперь не сидят, между ними четное число мест, а, значит, и число требуемых пар четно.

6.

Улитка ползёт по плоскости с постоянной скороостью, поворачивая на 90° каждые 30 минут. Докажите, что она может вернуться в исходную точку только: а) через целое число часов; б) через чётное число часов.

Решение

Решение. Заметим, что чтобы вернуться в исходную точку, нужно пройти одинаковое расстояние влево и вправо, а также вверх и вниз. Пусть улитка поднималась вверх a раз, а влево — b раз. Тогда она ползла 2·30·a + 2·30·b = 60(a + b). Отсюда следует, что она ползла четное число часов. Поскольку после каждого движения по вертикали следует движение по горизонтали и наоборот, то числа a и b одной четности. Значит, улитка ползла четное число часов.

7.

На шахматной доске стоят 8 ладей, из которых никакие две не бьют друг друга. Докажите, что число ладей стоящих на чёрных полях чётно.

Решение

Решение. Пронумеруем числами от 1 до 8 вертикали слева направо и горизонтали сверху вниз соответственно. Суммой координат клетки назовем сумму номеров ее вертикали и горизонтали. Тогда пусть у черных клеток сумма координат четна, тогда у белых она нечетна. Заметим, что сумма координат клеток, на которых стоят 8 ладей, четна (она равна удвоенной сумме чисел от 1 до 8). Но тогда число ладей, стоящих не белых клетках, четно (сумма координат белой клетки нечетна), значит, и число ладей на черных клетках четно.

8.

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.

Решение

Решение. Предположим, что все цифры суммы нечетны. Разберем два случая.

1) Сумма первой и последней цифры числа меньше 10. Ясно, что в этом случае не будет ни одного перехода через разряд. Действительно, допустим в предпоследнем разряде произошел переход через десяток, но тогда сумма первой и последней цифры четна, что неверно по предположению. Продолжая так далее получим треубемое. Но тогда, складывая средние цифры чисел, получим четную цифру.

2) Сумма первой и последней цифры числа не меньше 10. Тогда получим что переход через разряд чередуется с непереходом через разряд при движении справа налево. Но тогда в десятом разряде не будет перехода, и в девятом разряде сложатся две одинаковые цифры, т.е. получится четная цифра.