МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 19 (18.02.2012). Площадь

1.

а)

Вспомните, как найти площадь прямоугольника, зная длины его сторон.

б)

Как найти площадь прямоугольного треугольника, зная длины двух его сторон, прилегающих к прямому углу?

Решение

Решение. а) ab; б) ab⁄2. Приложим к гипотенузе такой же треугольник, чтобы получился прямоугольник со сторонами a и b. Тогда площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, т.е. ab⁄2.

2.

Найдите площади многоугольников, изображенных на рисунке (сторона клетки равна 1).

Ответ Решение

Ответ. 13; 12; 39.5.

Решение. Чтобы найти эти площади нужно разбить фигуры на прямоугольные треугольники и квадратики. Площадь и тех и других мы умеем вычислять по первой задаче.

3.

Каждая сторона треугольника больше 1000. Может ли его площадь быть меньше 1? (Треугольник может быть любым — необязательно прямоугольным.)

Ответ Решение

Ответ. Да, может.

Решение. Построим такой треугольник. Возьмем отрезок длины 2000 (его вершины будут первыми двумя вершинами треугольника). Отметим его середину. Отложим от нее перпендикулярно исходному отрезку отрезок длины 0.00001. Пусть вторая вершина этого отрезка и будет третьей вершиной треугольника. Тогда его стороны, очевидно, больше 1000, а площадь равна 2000·0.00001/2 = 0.1 < 1.

4.

Нарисуйте на клетчатой бумаге два многоугольника с одинаковыми периметром и площадью, но неравные между собой.

Решение

Решение.

5.

В отрывном календаре оторвали листок и положили на следующий так, как показано на рисунке.

а)

У какого листка незакрытая часть больше: у нижнего или у верхнего?

б)

Какая часть нижнего листка больше: закрытая или открытая?

Решение.

Решение.. а) У верхнего, т.к. площадь всего прямоугольника больше площади его части; б) закрытая. Площадь красного треугольника равна половине площади треугольника. Площадь закрытой очевидно, больше ее. Но тогда площадь открытой меньше площади закрытой, т.к. в сумме они дают прямоугольника.

6.

Прямоугольную шоколадку разломали на 4 прямоугольных кусочка. Первый кусочек состоит из 8 квадратных долек, второй — из 12, третий — из 18. Сколько квадратных долек в четвёртом кусочке, если известно, что количество долек в нём отличается от количества долек в остальных кусочках?

Ответ Решение

Ответ. 27.

Решение. Заметим, что если разбить прямоугольник на четыре части «крестом», то произведения площадей противоположных частей равны. Тогда произведение двух из трех данных в условии чисел должно делиться на третье. 12·18⁄8 = 27, 12·8⁄18 не целое, 8·18⁄12 = 12 (по условие все площади разные). Значит, ответ 27. Нетрудно привести пример, удовлетворяющий условию.

7.

В квадрате отметили середины двух сторон и соединили их с вершинами так как показано на рисунке. Докажите, что площадь чёрного многоугольника равна сумме площадей серых многоугольников.

Решение

Решение. Можно доказать, что общая площадь всех серых и белых частей равна площади всех черных и белых частей. Для этого заметим, что площадь красных частей равна площади желтой, а площадь голубых равна площади салатовой.

8.

В квадрате со стороной 1 расположены 11 многоугольников, сумма площадей которых больше 10. Докажите, что у всех этих многоугольников есть общая точка.

Решение

Решение. Многоугольники разбили квадрат на части. Если никакая точка не накрыта всеми многоугольниками, то каждая часть покрыта не более 10 многоугольниками. Но тогда общая площадь не может быть больше 10.