МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 18 (11.02.2012). Шахматы и доски

1.

Можно ли на шахматную доску выставить по очереди в некотором порядке 5 главных шахматных фигур (ладью, коня, слона, ферзя и короля) так, чтобы каждая фигура в момент постановки на доску била все выставленные до неё фигуры?

Ответ Решение

Ответ. Да, можно.

Решение. Сначала выcтавляем слона, затем коня, ладью, ферзя и короля.

2.

Шахматный конь стоит в левом нижнем углу доски. Может ли он через а) 4; б) 5; в) 111 ходов вернуться на исходное поле?

Ответ Решение

Ответ. а) да; б),в) нет.

Решение. В а) это сделать очень просто: a1 → b3 → d4 → c2 → a1. В б) и в) заметим, что при каждом ходе конь меняет цвет поля. Поэтому через нечетное число ходов конь окажется на клетке другого цвета, чем исходная. Поэтому не сможет.

3.

Можно ли расставить на шахматной доске короля, ладью, коня, слона и ферзя так, чтобы каждая фигура била ровно две фигуры и была побита ровно двумя, причём другими, фигурами?

Ответ Решение

Ответ. Нет, нельзя.

Решение. Предположим такая расстановка возможна. Тогда для любой пары фигур A и B выполнено только одно из двух: A бьет B, B бьет A. Заметим, что если слон бьет ферзя, то и ферзь бьет слона. Значит, ферзь бьет слона. Аналогично получим, что ферзь бьет ладью и короля. Получили, что ферзь бьет три фигуры. Противоречие.

4.

Можно ли разрезать шахматную доску на доминошки так, чтобы никакие две из них не образовывали квадрат 2×2?

Ответ Решение

Ответ. Нет, нельзя.

Решение. (Решение взято из книги «Принцип узких мест» А.В.Шаповалова.)
Попробуем разрезать. В углу домино можно положить всего двумя способами. Не теряя общности, будем считать, что угловая клетка 1 закрыта горизонтальным домино. Рассмотрим теперь клетку 2: ее тоже можно закрыть лишь двумя способами. Горизонтальное домино не годится: вместе с первым домино оно образует квадрат. Значит, накроем клетку 2 вертикальным домино. Теперь клетку 3 можно накрыть всего двумя способами. Но вертикальное домино образовало бы квадрат со вторым домино, значит, надо накрыть горизонтально. Так продолжая, будем строить «елочку», пока она не упрется в правый нижний угол. Видим, что разрезать не получается: клетку 14 можно накрыть лишь горизонтальным домино, в результате домино 13 и 14 таки образуют запрещенный квадрат.

5.

а)

Новая шахматная фигура «лягушка» поочерёдно делает ходы на 1, 2, 1, 2, ... клетки (по горизонтали или вертикали). Может ли лягушка обойти всю доску 8×8, побывав на каждой клетке ровно 1 раз?

б)

Тот же вопрос, если «лягушка» поочерёдно делает ходы на 1, 2, 3, 1, 2, 3, ... клетки.

Решение

Решение. а) Можно.

б) Нет, нельзя. Пусть первая клетка белая. Тогда три следующие клетки черная, черная, белая. Следующие три также черная, черная, белая. Ясно, что если удастся обойти так доску, то на ней черных клеток будет больше, чем белых, что неверно.

6.

Во время матча «ЦСКА»–«Реал» пришедший с шахматного кружка Незнайка задумался над задачей «Можно ли на шахматное поле 8×8 поставить 11 коней, 11 королей и 1 мяч (бить не умеет) так, чтобы не было фигуры, стоящей под боем другой фигуры?» А действительно, можно ли?

Ответ Решение

Ответ. Можно.

Решение. Черным слоном обозначен мяч.

7.

Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для любой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?

Ответ Решение

Ответ. Нет, нельзя.

Решение. Числа от 1 до 2001 могут располагаться не более, чем в 2001 строке и 2001 столбце. Значит, найдутся строка и столбец, все числа в которых не меньше 2002. Но тогда произведение любых двух чисел из такой строки (столбца) больше 2002², т. е. для клетки, расположенной на пересечении таких строки и столбца, условие задачи не выполняется.