МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2011/2012 учебный год

Занятие 10 (26.11.2011). Логика

1.
Петя сказал: «Если кот шипит, то рядом собака, а если собаки рядом нет, то кот не шипит». Не сказал ли Петя чего-то лишнего?
Ответ. Сказал.
Решение. Если бы собаки рядом не было, а кот бы зашипел, то собака должна была бы быть рядом, а это не так. Поэтому вторая часть утверждения никакого смысла в себе не несет.
2.
Вася написал на доске натуральное число. После этого Катя и Маша сказали:
— У этого числа четная сумма цифр.
— У этого числа число нечетных цифр нечетно.
Сколько среди этих утверждений верны?
Ответ. Одно.
Решение. Заметим, что второе утверждение означает, что у Васиного числа нечетная сумма цифр. Поскольку сумма цифр может быть либо четной, либо нечетной, то верно только одно из утверждений.
3.
Среди 5 школьников A,B,C,D,E двое всегда лгут, а трое всегда говорят правду. Каждый из них сдавал зачет, причем все они знают, кто сдал зачет, а кто — нет. Они сделали следующие утверждения.
A: «B не сдал зачет».
B: «C не сдал зачет».
C: «A не сдал зачет».
D: «E не сдал зачет».
E: «D не сдал зачет».
Сколько из них зачет сдали?
Ответ. Двое.
Решение. Поскольку все пять утверждений были сделаны про 5 разных школьников и три из них верны, то три школьника не сдали зачет. Два других утверждения ложны, поэтому соответствующие школьники зачет сдали.
4.
В школе прошёл забег с участием 5 спортсменов, и все заняли разные места. На следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, и каждый, естественно, назвал одно число от 1 до 5. Сумма их ответов оказалась равна 22. Какое наименьшее число врунишек было?
Решение. Заметим, что сумма ответов тех, кто ответил честно, не больше 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Т.к. 22 − 15 = 7 > 5, то хотя бы двое соврали. Пример ответов: 5,5,3,4,5 (последние трое ответили честно).
5.
На острове живут племя рыцарей и племя лжецов. Однажды каждый житель острова заявил: «В моем племени у меня больше друзей, чем в другом». Может ли рыцарей быть меньше, чем лжецов?
Ответ. Да, может.
Решение. Пусть есть четверо рыцарей, которые попарно дружат. А также четыре пары лжецов, где лжецы каждой пары дружат со своим рыцарем, а друг с другом не дружат. Также никакие два лжеца не дружат.
6.
Четырехзначное чиcло таково, что все его цифры различны, а также известно, что числа 5860, 1674, 9432, 3017 содержат ровно по две цифры, принадлежащие этому числу, однако ни одна из них не стоит в том же месте, что и в этом числе. Найдите его.
Решение. Пусть искомое число abcd. Для каждой цифры a,b,c,d посчитаем, сколько раз она встречается в данных четырех числах. Очевидно, что сумма этих вхождений должна равняться 8. Поскольку никакая цифра не встречается в 3 числах, то каждая цифра встречается ровно дважды.

Т.е. в искомом числе могут быть только цифры 0,1,3,4,6,7. Но в первом числе из этих цифр есть только 6 и 0. Значит, эти цифры в числе точно есть. Аналогично из третьего числа, получаем цифры 4 и 3. Составим табличку, в которой плюсики стоят в тех разрядах, в которых они могут быть написаны.

0 + +
3 + +
4 + +
6 + +

Очевидно, что т.к. в разряде сотен есть только один « + », то в разряде сотен числа стоит тройка. Действуя так далее и воспользовавшись тем, что четырехзначное число с нуля не начинается, получим число 4306, которое, очевидно, подходит.

7.
2011 школьников и студентов встали по кругу. Каждый из них по очереди произнес фразу: «Оба мои соседа — школьники». Если про студента солгали, он обижается и становится школьником. Если про школьника сказали правду, он расстраивается и становится студентом. Когда школьников было больше — в начале, или в конце?
Ответ. Поровну.
Решение. Рассмотрим некоторого человека. Заметим, что поменять статус он может только, когда произносят фразы его соседи. Предположим, что он был школьником. Тогда после первого соседа он станет студентом, а после второго — школьником. Если же он был студентом, то после первого соседа он станет школьником, а затем — снова студентом. Значит, сколько школьников было, столько и осталось.
8.
В поселке некоторые дома соединены проводами. Соседями называются двое, дома которых связаны проводом. Всегда ли удастся поселить в каждый дом по одному человеку: лжецу или рыцарю — так, чтобы каждый на вопрос: «Есть ли среди ваших соседей лжецы?» ответил положительно? (Каждый знает про каждого из своих соседей, лжец он или рыцарь).
Ответ. Да, всегда.
Решение. Рассмотрим наибольшее подмножество A домов, никакие два из которых не являются соседними. Поселим в каждый дом множества A лжеца, а во все остальные — по рыцарю. Тогда заметим, что у каждого рыцаря есть сосед-лжец, иначе бы дом этого рыцаря можно было бы добавить в множество A. По построению ни у какого лжеца нет соседей-лжецов.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS