МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 4 (15.10.2011). Делимость

1.

Приведите пример числа, которое: а) делится на 3 и делится на 4; б) делится на 11 и делится на 12.

Ответ

Ответ. а) 12; б) 132.

2.

Может ли сумма трёх различных натуральных чисел делиться на каждое из слагаемых?

Ответ Решение

Ответ. Да, может.

Решение. Например, 1 + 2 + 3 = 6.

3.

Дети ходили в лес за орехами и теперь, возвращаясь домой, идут парами. В каждой паре идут мальчик и девочка, причём у мальчика орехов в 2 раза больше, чем у девочки. Может ли всего у детей быть 100 орехов?

Ответ Решение

Ответ. Нет, не может.

Решение. Рассмотрим произвольную пару. Пусть в этой паре у девочки a орехов, тогда у мальчика их 2a, значит, в каждой паре всего 3a орехов, или число орехов кратное трем. Таким образом, если посчитать все орехи, то их число тоже будет делиться на три, так как число всех орехов получается путем суммирования числа орехов в каждой паре. Но 100 не делится на 3. Значит, такого быть не могло.

4.

В магическом квадрате суммы цифр в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях равны. Можно ли составить магический квадрат 3×3 из первых 9 простых чисел?

Ответ Решение

Ответ. Нет, нельзя.

Решение. Заметим, что сумма всех чисел магического квадрата должна делиться на три. Действительно, раз суммы числе в строках равны, то сумма чисел во всем квадрате равна 3x, где x — сумма чисел в строке. Посчитаем сумму первых девяти простых чисел: 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 = 100. Но 100 не делится на 3.

5.

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.

Ответ Решение

Ответ. 2222232.

Решение. Заметим, что последние две цифры должны образовывать число, делящееся на 4. Значит, это 32 (числа 22, 23 и 33 на 4 не делятся). Теперь поставим в начале кода пять двоек(тогда двоек будет точно больше, чем троек). Полученное число будет делится на 3, т.к. сумма цифр равна 15 — делится на 3.

6.

Можно ли расставить числа а) от 1 до 7; б) от 1 до 9 по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

Ответ Решение

Ответ. а) можно; б) нельзя.

Решение.
а)

б) Заметим, что нечетное число не делится на четное, т.е. его соседи разной четности. Значит, нечетные числа расположены парами. Но среди чисел 1, 2, ..., 9 нечетных чисел пять, и поэтому их нельзя разбить на пары.

7.

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2011. Какое число стёрли?

Ответ Решение

Ответ. 224.

Решение. Пусть это были числа a − 4, a − 3, a − 2, a − 1, a, a + 1, a + 2, a + 3, a + 4, a + 5. Тогда их сумма равна 10a + 5. Пусть стерли число a + t, тогда 10a + 5 − (a + t) = 2011. 9a = 2006 + t. Значит, t дает остаток 1 при делении на 9, значит, t = 1. Но тогда 9a = 2007, т.е. a = 223, и a + t = 223 + 1 = 224.

8.

Номер телефона у Джейн — 395322, а у Ирэн — 435903. Если разделить эти номера на трехзначный код города, где они живут, получатся одинаковые остатки, равные двузначному коду страны, где они живут. В какой стране живут девушки? Найдите хотя бы её код.

Ответ Решение

Ответ. 33.

Решение. Найдем код страны в которой живут девушки. Т.к. остатки номеров девушек при делении на трехзначный код C города совпадают, то

435903 − 395322 = 40581 = 3⁵·167

делится на C. Значит, C = 167,3·167 = 501 или 243.

Обозначим остаток при делении числа a на b как a mod b.

Тогда

435903 mod 243 = 204, 435903 mod 501 = 33, 435903 mod 167 = 3.

Получается, что т.к. код страны есть двузначное число, то это 33.