МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2011/2012 учебный год

Версия для печати

Занятие 12 (10.12.2011). Дроби

1.
Что больше
2010
2011
или
2011
2012
?
Ответ.
2011
2012
больше.
Решение. Заметим, что первая дробь меньше числа 1 на
1
2011
, а вторая — на
1
2012
. Поскольку
1> 1,
20112012
то вторая дробь больше.
2.
Юра хочет тратить 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учёбу в школе, 1/6 — на просмотр фильмов, 1/70 — на решение олимпиадных задач и 1/3 — на сон. Возможно ли это?
Ответ. Нет.
Решение. Сложим все дроби из условия. Получим:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 11 + 1 = 31 + 1 > 1,
356703 330703070
что невозможно.
3.
Из спичек сложено неверное равенство. Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным.
4.
Волк с тремя поросятами написал детектив «Три поросёнка — 2», а потом вместе с Красной Шапочкой и её бабушкой кулинарную книгу «Красная Шапочка — 2». В издательстве выдали гонорар за обе книжки поросёнку Наф-Нафу. Он забрал свою долю и передал оставшиеся 2100 золотых монет Волку. Гонорар за каждую книгу делится поровну между её авторами. Сколько денег Волк должен взять себе?
Ответ. 700 золотых монет.
Решение. За книгу «Три поросёнка — 2» каждый автор должен получить четверть гонорара. Но так как Наф-Наф свою долю уже забрал, Волку причитается 1/3 остатка. За книгу «Красная шапочка — 2» ему также полагается 1/3 гонорара. Поэтому всего он должен получить треть переданной ему суммы.
5.
Какое число нужно вычесть из числителя дроби 537/463 и прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить 1/9?
Решение. Пусть искомое число — это a. Тогда
537 − a = 1 , 537·9 − 9a = 463 + a, 4370 = 10a, a = 437.
463 + a9
6.
На острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?
Ответ. 12/19.
Решение. Пусть 2m человек состоят в браке, тогда мужчин
m : 2 = 3 m
32
, а женщин
m : 3 = 5 m
53
. Т.к. всего жителей острова
( 3 + 5 ) m = 19 m
236
, и из них 2m состоят в браке, то в браке состоит 12/19 жителей острова.
7.
Докажите, что дробь 1/n можно представить в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если n в разложении на простые множители содержит только двойки и пятёрки.
Решение. Если число n в разложении на простые содержит только двойки и пятерки, то числитель и знаменатель можно домножить на натуральное число так, чтобы знаменатель стал степенью десятки. Тогда такая дробь, очевидно, представляется в виде конечной десятичной. Предположим, что дробь из условия можно представить в виде конечной десятичной. Тогда
1 = a
n 10k
Тогда 10k = na, а, значит, n содержит только двойки и пятерки.
8.
На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу, и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечетным знаменателем.
Решение. Возьмем дробь со знаменателем, содержащей двойку в наибольшей степени: a/64. Тогда одно из чисел a − 32, a + 32 попадает в интервал от 1 до 100. Обозначим его за b, а дробь b/c. Посмотрим, что произойдет, если поменять числители b и a местами. Сумма изменится на
1 32
2c
. Но тогда прибавив (или вычтя) к дроби со знаменателем 2 дробь 1/2, после сокращения получим дробь с нечетным знаменателем. Ну, а вычтя (или прибавив) дробь 32/c, которая после сокращения является дробью с нечетным знаменателем, получим снова дробь с нечетным знаменателем.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS