МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 22 (10.03.2012). Симметрия

1.

Расположите в кружочках (см. рис.) числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных (симметричных относительно центра окружности).

2.

Ожерелье состоит из 10 бусин, расположенных по окружности на одинаковом расстоянии друг от друга. Закрасьте некоторые бусины из ожерелья так, чтобы ожерелье не имело оси симметрии.

3.

Число называется симметричным, если оно одинаково читается слева направо и справа налево (например: 1001 или 2992). Какое наибольшее количество четырёхзначных симметричных чисел может идти подряд?

4.

а)

На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно одной из двух главных диагоналей. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.

б)

Расположение шашек теперь симметрично относительно обеих диагоналей. Докажите, что одна из них расположена в центральной клетке.

5.

Придумайте, как из данных трёх фигурок, использовав каждую ровно один раз, сложить фигуру, имеющую ось симметрии.

6.

В квадрате 8×8 можно закрашивать клетки по одной так, чтобы каждый раз получающаяся фигура имела ось симметрии. Можно ли таким образом закрасить 28 клеток?

7.

Можно ли правильный шестиугольник (т.е. такой, у которого вершины расположены по окружности на одинаковом расстоянии друг от друга) разрезать на пять остроугольных треугольников?

8.

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.