МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 2 (01.10.2011). Сложные вычисления

1.

Придумайте три разные правильные несократимые дроби, сумма которых — целое число, такие, что если каждую из этих дробей «перевернуть» (т.е. заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом.

Ответ Решение

Ответ. ¹/₂, ¹/₃, ¹/₆.

Решение. Проверим, что эти дроби подходят. ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₆ = 1 — целое и 2 + 3 + 6 = 12 — тоже целое.

2.

Решите уравнение ((x : 2 − 3) : 2 − 1) : 2 − 4 = 3.

Ответ Решение

Ответ. 66.

Решение. ((x : 2 − 3) : 2 − 1) : 2 − 4 = 3 → ((x : 2 − 3) : 2 − 1) : 2 = 7 → (x : 2 − 3) : 2 − 1 = 14 → (x : 2 − 3) : 2 = 15 → x : 2 − 3 = 30 → x : 2 = 33 → x = 66.

3.

Три человека А, В и С пересчитали кучу шариков четырёх цветов. При этом каждый из них правильно различал какие-то два цвета, а два других мог путать: один путал красный и оранжевый, другой — оранжевый и жёлтый, а третий — жёлтый и зелёный. Результаты их подсчётов приведены в таблице. Сколько шариков каждого цвета было на самом деле?

	красный	оранжевый	жёлтый	зелёный
A	2	8	4	9
B	2	4	9	8
C	4	2	8	9

Ответ Решение

Ответ. 9 зелёных, 4 оранжевых, 2 красных и 8 желтых шариков.

Решение. Заметим, что только один путал зеленый цвет, значит, двое назвали точное число зеленых шариков, следовательно, A и C, следовательно, B путает зеленый и желтый цвета, а зеленых шариков 9. Также B не путает оранжевый, значит, оранжевых 4. Аналогично, C путает красный цвет с оранжевым, а красных 2. C не путает желтый, значит, желтых 8.

4.

Найдите суммы:

а)

1 + 2 + ... + 500;

б)

1 + 2 + ... + 2011.

в)

Докажите, что

1 + 2 + 3 + ... + n	=	n(n + 1)	.
		2

Ответ Решение

Ответ. а) 125250; б) 2023066.

Решение. Докажем пункт «в)», предыдущие два пункта очевидно из него следуют.
Запишем числа от 1 до n в ряд. А под этим рядом запишем те же числа только в обратном порядке и сложим числа, записанные друг под другом:

1	2	3	...	n − 2	n − 1	n
+	+	+	...	+	+	+
n	n − 1	n − 2	...	3	2	1
n + 1	n + 1	n + 1	...	n + 1	n + 1	n + 1

По приведенной выше таблице становится понятно, что если сложить все числа от 1 до n, взяв каждое число дважды, то получится то же самое, что и при сложении чисел n + 1, взятых в количестве n штук. Таким образом, сумма чисел от 1 до n равна

n(n + 1)	.
2

5.

Найдите сумму 123456789 + 234567891 + 345678912 + ... + 912345678.

Ответ Решение

Ответ. 4999999995.

Решение. Заметим, что если взять два одинаковых разряда в двух числах и поменять в этих разрядах цифры местами, то сумма не изменится. Значит, сумма всех чисел равна

111111111+222222222+...+999999999 = 111111111·(1+...+9) = 111111111·45 = 4999999995.

6.

В примерах на сложение заменили цифры буквами: одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные цифры — разными буквами. Получилось: а) КРОТ + СЛОН = ЗАВОД; б) АБВГ + ДЕЖ = ЗИКЛ. Восстановите исходные примеры. (Нужно найти все возможные варианты и показать, что других нет.)

Ответ Решение

Ответ. В обоих пунктах нет решений.

Решение. В обоих равенствах использовано 11 разных букв, значит, ребусы не имеют решений.

7.

В квадрате 3×3 расставлены некоторым образом все целые числа от 1 до 9. Сначала подсчитали средние арифметические чисел в четырёх различных квадратах 2×2 (все они оказались целыми числами), а затем подсчитали среднее арифметическое полученных четырёх чисел (оно также оказалось целым). Какое наибольшее значение могло принимать последнее подсчитанное число?

Ответ Решение

Ответ. 6.

Решение. Подсчёт последнего среднего арифметического даёт следующее значение

M	=	a1 + a2 + a3 + a4 + 2(b1 + b2 + b3 + b4) + 4c	,
		16

где a_i — числа в углах, b_j — числа в средних клетках на краю, c — число в центре таблицы. Тогда

M	=	(a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4+c)+(b1+b2+b3+b4+c)+2c	=
		16

=	45 + (b1 + b2 + b3 + b4 + c) + 2c
	16

и

M	≤	45 + (5 + 6 + 7 + 8) + 2·9	=	98	=	6,125,
		16		16

а наибольшее возможное целое значение равно 6. Приведем пример такой таблицы:

1	5	2
6	8	9
3	7	4

8.

Незнайка написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил сумму этих чисел на их произведение. После этого он стёр самое маленькое число и поделил сумму оставшихся чисел на их произведение. Второй результат оказался в 3 раза больше первого. Какое число Незнайка стёр?

Ответ Решение

Ответ. 4, 6.

Решение. Пусть c — наименьшее число, s и p — сумма и произведение оставшихся чисел, тогда по условию 3·^{(s + c)}/_(pc) = ^s/_p. Преобразуем: 3(s + c) = sc.

Левая часть делится на 3, значит, либо s, либо c делится на 3.

1) Пусть s делится на 3, тогда s = 3k. 3(c + 3k) = 3kc, c + 3k = kc, 3k = c(k − 1). k = 1 решением не является, также числа k и k − 1 взаимно просты, тогда k − 1 = 1 или k − 1 = 3. В первом случае получим c = 6, во втором c = 4.

2) Если c делится на 3, с = 3k, аналогичным образом получим k = 2 и k = 4, т.е. c = 6 и c = 12.

Приведем примеры для c = 4, 6.
1) c = 4. Числа 4, 6, 6.
2) c = 6. Числа 6, 6.
3) c = 12. Тогда s = 4, но такого не может быть, т.к. s ≥ c.