МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год

Кружок 7 класса (рук. Е. А. Асташов) Кружок 7 класса, группа А (ст. преп. Д. А. Удимов)

Группа А. Старший преподаватель Д. А. Удимов

Версия для печати

Занятие 4. Число сочетаний

Определение. Число способов выбрать из n различных предметов k предметов (порядок, в котором они выбираются, неважен) называется числом сочетаний из n по k и обозначается Cnk (читается «цэ из эн по ка»).
1.
Пользуясь только определением, докажите, что:
а)
Cnn−k = Cnk;
б)
Cnk + Cnk+1 = Cn+1k+1;
в)
Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn−1 + Cnn = 2n;
г)
Cn0Cmk + Cn1Cmk−1 + Cn2Cmk−2 + ... + Cnk−1Cm1 + CnkCm0 = Cn+mk
2.
а)
Сколько способов выбрать из 16 инопланетян капитана тарелки, помощника капитана и повара?
б)
Сколько способов распределить эти роли между тремя инопланетянами?
в)
Сколько способов из 16 инопланетян выбрать трёх?
г)
Есть n инопланетян, сколькими способами можно поставить k из них в очередь на медосмотр перед полётом?
д)
Сколько способов из n инопланетян выбрать k инопланетян?
3.
а)
На плоскости отмечено 10 точек, и никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько есть треугольников с вершинами в этих точках?
б)
На каждой из двух параллельных прямых отмечено по 5 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
4.
Фигура «хромой король» ходит на одну клетку и только вправо или вверх. Сколькими различными путями можно провести «хромого короля» из левой нижней клетки доски 6×10 в правую верхнюю?
5.
Сколько способов:
а)
выбрать из 12 инопланетян 6 для разведки Земли;
б)
разделить 12 инопланетян на две команды по 6 персон для игры в космобол?
6.
Двенадцать инопланетян решили навестить знакомых с Земли. У них есть 4 различные тарелки, в каждую из которых должны сесть ровно трое. Сколько у инопланетян
а)
вариантов разместиться по тарелкам;
б)
вариантов составить четыре экипажа?
7.
Сколько способов выбрать на доске n×n:
а)
два столбца;
б)
не более двух столбцов;
в) 
две строки и два столбца?
г)
Сколько есть способов закрасить несколько клеток на доске так, чтобы закрашенная часть образовывала прямоугольник?
8.
а)
7 ящиков занумерованы числами от 1 до 7. Сколько есть способов разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?
б)
А если некоторые ящики могут оказаться пустыми?
9.
а)
«Хромой король» из задачи 4 совсем устал. Теперь он ещё и не может два раза подряд ходить вверх. Сколько теперь у него есть путей из левой нижней клетки в правую верхнюю клетку доски 6×10?
б)
На полке стоят 14 книг. Сколько есть способов выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом?
10.
12 инопланетян встретили 12 землян. Сколько существует способов составить из них компанию, в которой было бы поровну землян и инопланетян?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS