МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год

Кружок 7 класса (рук. Е. А. Асташов) Кружок 7 класса, группа А (ст. преп. Д. А. Удимов)

Группа А. Старший преподаватель Д. А. Удимов

Версия для печати

Занятие 3. Остатки

1.
а)
Число делится на 44 с остатком 15. С каким остатком оно делится на 11?
б)
Число делится на 7 с остатком 5. Какой остаток оно может давать при делении на 35? Найдите все возможные варианты.
2.
а)
Какие остатки может иметь 10n (n — натуральное число) при делении на 2, 4, 5, 3, 9?
б)
Вы уже знаете, как для натурального числа быстро определить, делится ли оно на 2, 3, 4, 5, 9. Найдите столь же быстрые способы узнать остаток от деления натурального числа на 2, 4, 5; на 3, 9.
3.
Найдите остаток от деления:
а)
числа 1! + 2! + 3! + ... + 15! на 15;
б)
числа 2·4·6·...·2010·2012 − 1·3·5·...·2009·2011 на 2013.
4.
Составьте таблицу умножения остатков от деления на а) 3, б) 5, в) 7. Таблица должна показывать, какой остаток от деления даст произведение двух чисел, если известны остатки множителей от деления.
5.
Докажите, что при любом натуральном n:
а)
число n5+4n делится на 5;
б)
n2+1 не делится на 3;
в)
n3+2 не делится на 9.
6.
Найдите последнюю цифру числа а) 77 ; б) 777 ; в) 7777.
7.
а)
Число не делится на 4. Какие остатки от деления на 4 может давать его квадрат? Найдите все возможные варианты.
б)
Может ли являться точным квадратом сумма квадратов двух или трёх нечётных чисел?
8.
Известно, что p и 8p2+1 — простые числа. Чему может быть равно p?
9.
а)
Существует ли точный квадрат более 9000, в записи которого нет цифр, отличных от единицы, пятёрки и девятки?
б)
Существует ли точный квадрат, в записи которого 100 нулей, 101 единица, 102 двойки и более никаких других цифр?
10.
Комбат строил свой батальон на плацу. Сначала он попытался построить их парами, но один солдат оказался лишним. Тогда комбат стал строить солдат тройками, но снова один остался. Та же история повторялась и при построениях по 4, по 5 и по 6. Комбат уже начал сердиться на лишнего солдата, но тут ему наконец удалось построить всех в колонну по 7.
а)
Сколько солдат могло быть в батальоне, если их было меньше 500?
б)
А если солдат было меньше 5000?
11.
Урюпинская Городская Дума переехала в новое здание. Если в новом зале для заседаний сажать депутатов по трое за стол, то один депутат окажется лишним. Если сажать по четверо за стол, то двое окажутся лишними. Если сажать по пять за стол, то трое окажутся лишними. В старом же здании депутаты сидели по семь за столом, и лишних не оставалось. Какое наименьшее число депутатов может быть в Урюпинской Городской Думе?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS