МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год
Кружок 7 класса (рук. Е. А. Асташов) Кружок 7 класса, группа А (ст. преп. Д. А. Удимов)
Группа А. Старший преподаватель Д. А. Удимов

Занятие 23. Матдрака

Правила

Правила игры «математическая драка»
1. Математическая драка — это командная игра-соревнование по решению задач. Играется командами по 3–4 человека. Каждая команда в начале игры получает список задач, которые можно решать в произвольном порядке, и первоначальный капитал в 10 тугриков.
2. Команда, считающая, что она решила задачу, пишет на листочке название команды, номер задачи и ответ на нее. После этого капитан заявляет о решении, подняв листок с номером команды и по сигналу жюри сдает заполненный бланк.
3. Первоначальная цена каждой задачи — 3 тугрика. Если команда дала неверный ответ, из ее капитала вычитается 1 тугрик, а текущая цена соответствующей задачи увеличивается на 1 тугрик. Команда, которая первой верно решила задачу, увеличивает свой капитал на цену задачи, а прием ответов по этой задаче прекращается.
4. Текущие цены задач и количество тугриков на счетах команд отмечаются на доске. Решенные задачи вычеркиваются, о снятии каждой задачи жюри также объявляет вслух.
5. Если у команды закончились тугрики, она НЕ выбывает из драки, а уходит в минус.
6. Драка заканчивается, если решены все задачи или истекло отведенное на нее время (оно объявляется в начале драки).
7. Победителем считается команда, у которой на момент окончания драки на счету больше всего тугриков (или кто меньше уйдет в минус :)). При равном числе тугриков у нескольких команд победителем считается та, которая дала больше верных ответов.

Задачи

1.
Глеб написал на доске обыкно-венную дробь, а Гриша посчитал сумму её числителя и знаменателя. Найдите наименьшее возможное натуральное значение этой дроби, если у Гриши получилось число 2011.

Ответ

2.
Маша пробежала 1 км со средней скоростью 4 м/с. С какой средней скоростью пробежал эту дистанцию Вася, если, стартовав на 25 секунд позже Маши, он финишировал на 25 секунд раньше?

Ответ

Ответ. 5 м/с
3.
Разделите число 80 на две части так, чтобы одна часть составляла 60% от другой части.

Ответ

Ответ. 80 = 30 + 50
4.
Сколько существует трёхзначных чисел, у которых сумма цифр больше произведения цифр?

Ответ

Ответ. 199 трёхзначных чисел
5.
Четыре мецената пожертвовали театру 132 тысячи рублей. При этом второй пожертвовал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый — вчетверо больше третьего. Сколько пожертвовал четвёртый?

Ответ

Ответ. 96 тысяч рублей
6.
Незнайка лжёт по понедельникам, вторникам и пятницам, а в остальные дни недели говорит правду. В какие дни недели Незнайка может сказать: «Я лгал позавчера и буду лгать послезавтра»?

Ответ

Ответ. В понедельник, вторник, среду, пятницу и воскресенье
7.
На шахматной доске стоят ладьи так, что каждая из них бьёт N ладей. При каких целых N это возможно? (Ладья бьёт в каждом направлении только ближайшую ладью.)

Ответ

Ответ. N = 0, 1, 2
8.
Маша выписывает последовательно на доску по возрастанию все числа, в которых число четных цифр равно числу нечетных цифр. Какое число выпишет Маша 46–м?

Ответ

Ответ. Маша выпишет 1001
9.
Три поросенка хранят в жестяной банке красные, желтые и зеленые леденцы. Какое наименьшее число леденцов надо взять наугад из банки так, чтобы каждому поросенку можно было дать по 5 леденцов одного цвета? (У разных поросят леденцы могут быть и разными.)

Ответ

Ответ. 23 леденца
10.
Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 73. Какое число задумал Вася (перечислите все возможные варианты)?

Ответ

Ответ. Вася задумал число 12
11.
Сумма четырёхзначного натурального числа с его суммой цифр равна 2018. Чему равно само число (необходимо найти все возможные варианты)?

Ответ

12.
Сколько на шахматной доске имеется всевозможных прямоугольников, состоящих из четырёх клеток?

Ответ

Ответ. 129 прямоугольников
13.
На какое наибольшее количество прямоугольников можно разрезать (без остатка) по линиям сетки клетчатый квадрат 7×7 так, чтобы среди них не оказалось одинаковых?

Ответ

Ответ. На 10 прямоугольников
14.
По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили Ауди и БМВ. Оказалось, что как в 17:00, так и в 18:00 БМВ находился в два раза дальше от перекрестка, чем Ауди. В какое время Ауди мог проехать перекресток? Укажите все возможные варианты.

Ответ

Ответ. 17:15 или 17:45
15.
В деревне Большие Топоры живет 100 детей, а в деревне Средние Топоры — 60, между деревнями проложена прямая дорога длиной 6 км. Посередине между Большими Топорами и Средними расположена деревня Малые Топоры, в которой живет 20 детей. В каком месте нужно построить школу, чтобы суммарное расстояние, которые должны будут каждый день преодолевать школьники, было наименьшим? (В ответе укажите расстояние от школы до каждой из деревень.)

Ответ

Ответ. В деревне Большие Топоры. Расстояния: Б. Т. — 0, М. Т. — 3 км, С. Т. — 6 км
16.
На плоскости нарисовали три прямые. Прямые пересеклись в трёх точках A, B, C. Из образовавшихся углов выбрали три: один с вершиной в точке A, второй — с вершиной в точке B и третий — с вершиной в точке C. Известно, что два из выбранных углов равны 1° и 2°. Чему может быть равен третий угол? Укажите все возможные варианты.

Ответ

Ответ. 1°, 3°, 177°, 179°
17.
Каждый из 12 человек — рыцарь, всегда говорящий правду, или всегда лгущий лжец. Один из них сказал: «Число лжецов среди нас делится на 1», второй: «Число лжецов среди нас делится на 2», …, 12–ый: «Число лжецов среди нас делится на 12». Сколько среди них может быть рыцарей? Укажите все возможные варианты.

Ответ

Ответ. 3, 4, 12
18.
Бусы — это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать и переворачивать, они от этого не меняются. Сколько различных видов бус можно составить из 10 одинаковых красных бусин и двух одинаковых синих бусин?

Ответ

Ответ. 6 видов бус
19.
В комнате дед, два отца, два сына и два внука (это дед, отцы, сыновья и внуки людей, находящихся в комнате). Сколько людей могло быть в комнате?

Ответ

Ответ. От 4 до 7 человек
20.
Найдите количество прямоугольников, составленных из клеток шахматной доски, которые содержат поле C4. (Одна клетка — это тоже прямоугольник.)

Ответ

Ответ. 360 прямоугольников