МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год

Кружок 7 класса (рук. Е. А. Асташов)

Кружок 7 класса, группа А (ст. преп. Д. А. Удимов)

Группа А. Старший преподаватель Д. А. Удимов

Занятие 2. Множества

Запись A = {1, Ё, $} означает, что множество А состоит из элементов 1, Ё, $.
A ∩ B — пересечение множеств А и В — множество, состоящее из всех общих элементов множеств А и В.
A ∪ B — объединение множеств А и В — множество, состоящее из всех элементов множества А и всех элементов множества В.
A \ B — разность множеств А и В — множество, состоящее из всех элементов А, не принадлежащих В.

1.

Пусть A = {♦, ↕}, B = {↕, •, §}. Запишите пересечение и объединение этих двух множеств. Сколько в них элементов?

2.

Если A = {чётные числа}, B = {числа, которые делятся на 4}, C = {натуральные числа меньше 10}. Чему равны A∩B, A∩B∩C, B∩C, A∪B?

3.

Верно ли, что:

а): (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C);
б): A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C);
в): (A∪B)\C = (A\C)∪B;
г): (A∩B)\C = (A\C)∩B?

Мощностью множества A называется количество его элементов (если оно не бесконечно). Обозначается |A|.

4.

Докажите, что для любых трёх множеств A, B, C выполнены равенства:

а): |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|;
б): |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |B∩C| − |A∩C| + |A∩B∩C|.

5.

На полу площадью 12 м² лежат три ковра. Площадь одного ковра 5 м², другого — 4 м², третьего — 3 м². Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5 м². Все три ковра перекрываются на площади 0,5 м².

а): Какова площадь пола, не покрытая коврами?
б): Какова площадь, покрытая только первым ковром?

6.

Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?

7.

В комнате площадью 6 м² постелили три ковра произвольной формы площадью 3 м² каждый. Докажите, что какие-либо два из них перекрываются по площади, не меньшей 1 м².

8.

Антон, Яков и Инна решили вместе 100 задач по математике. Каждый из них решил 60 задач. Назовем задачу трудной, если ее решил только один человек, и легкой, если ее решили все трое. Насколько отличается количество трудных задач от количества легких? Задачи, которые решили только двое, тоже бывают!

9.

Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв. Все составили разное число слов: больше всех — Аня, меньше всех — Вася. Затем ребята просуммировали очки за свои слова. Если слово есть у двух игроков, за него даётся 1 очко, у одного игрока — 2 очка, слова, общие у всех трёх игроков, вычёркиваются. Могло ли так случиться, что больше всех очков набрал Вася, а меньше всех — Аня?

Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А — подмножество множества В, и пишут A⊂B.

10.: Сколько подмножеств у множества, содержащего: а) 2 элемента, б) 4 элемента, в) n элементов? г) Существует ли множество, у которого ровно 7 подмножеств?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!