МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 19. Инварианты

1.

Лягушка прыгает вдоль прямой:

а)

на 1 см вправо или влево;

б)

сначала на 1 см вправо, затем на 3 см вправо или влево, затем на 5 см вправо или влево, и т. д. Может ли она оказаться в исходной точке после своего 101–го прыжка?

2.

а)

Может ли шахматный слон за миллион ходов попасть с поля А1 на поле А8?

б)

Тот же вопрос для шахматного коня.

3.

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 20, 21. Можно стереть любые два числа a и b и записать число

а)

a + b;

б)

ab;

в)

a + b − 2. Какое число получится после 20 таких действий?

г)

Можно стереть любые два числа и записать их разность. Можно ли добиться того, чтобы в результате все числа на доске стали нулями?

д)

Вопрос пункта г), если написаны натуральные числа от 1 до 23.

4.

а)

На столе стоят 4 стакана: три стоят правильно, а четвёртый — вверх дном. Разрешается одновременно перевернуть любые два стакана. Можно ли за несколько таких операций поставить все стаканы вверх дном?

б)

На доске написаны числа 0, 0, 0, 1. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них. Можно ли за несколько таких операций сделать все числа равными?

5.

а)

На каждой из клеток доски размером 5 × 5 сидел жук. В полдень каждый жук переполз на соседнюю по стороне клетку доски. Докажите, что теперь по крайней мере одна клетка на доске будет свободной.

б)

На шахматной доске 5 × 5 расставили 25 шашек — по одной на каждой клетке. Потом все шашки сняли с доски, но запомнили, на какой клетке стояла каждая. Можно ли ещё раз расставить шашки на доске таким образом, чтобы каждая шашка стояла на клетке, соседней (по стороне) с той, на которой она стояла в прошлый раз?

6.

а)

В клетках квадратной таблицы 10 × 10 расставлены цифры. Из цифр каждого столбца и каждой строки составили 10–значные числа — всего получилось 20 чисел. Может ли быть, что ровно 19 из них делятся на 3?

б)

Петя ввёл в компьютер число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр. Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?

7.

По кругу стоят натуральные числа от 1 до 6 по порядку. Разрешается к любым трём подряд идущим числам прибавить по 1 или из любых трёх, стоящих через одно, вычесть 1. Можно ли с помощью нескольких таких операций сделать все числа равными?
Подсказка: рассмотрите диаметрально противоположные числа.

8.

В колбу поместили 133 бактерии типа А, 135 бактерий типа В и 137 бактерий типа С. Если две бактерии разных типов соприкасаются, то они обе меняют свой тип на третий. Может ли оказаться, что через некоторое время все бактерии в колбе будут одного типа?
Подсказка: подумайте про остатки от деления на 3.