 |
 |
|
 |
|
|
Кружок 7 класса
Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год
Группа А. Старший преподаватель Д. А. Удимов
Занятие 18. Множители и делители
Основная теорема арифметики: каждое натуральное число n, большее единицы, можно
представить в виде произведения простых множителей, причём единственным, с точностью
до перестановки множителей, способом:
\(n = p_1^{d_1} p_2^{d_2} \ldots p_k^{d_k}\).
- 0.
-
- Существуют ли два натуральных числа, в записи которых нет нулей и произведение
которых равно 1000000?
- p и q — различные простые числа. Сколько делителей у числа:
- а)
- pq;
- б)
- pn?
1.
Существуют ли 6 натуральных чисел, среди которых ровно одно число делится на 6, ровно
два числа делятся на 5, ровно три числа делятся на на 4, ровно четыре числа делятся на 3,
ровно пять чисел делятся на 2, ровно шесть чисел делятся на 1?
2.
На сколько нулей оканчивается число
- а)
- 100!;
- б)
- 2014! ?
3.
Найдите наименьшее натуральное число, половина которого — квадрат, треть — куб, а
пятая часть — пятая степень.
4.
p и q — различные простые числа. Сколько делителей у числа:
- а)
- p2q ;
- б)
- p2q2 ;
- в)
- pnqm?
5.
Сколько различных делителей имеет число:
- а)
- 35;
- б)
- 35·5;
- в)
- 2·3·5·7·11;
- г)
- 22·33·55···77·1111;
- д)
- 22·33·44·55.
6.
Для каждого k от 1 до 6 найдите наименьшее натуральное число, которое имеет k делителей.
7.
У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.
8.
Приведите пример числа, которое делится на 12 и имеет 2014 различных делителей.
Число a делится на 10 и имеет 14 делителей. Сколько делителей может быть у числа 10a?
9.
Доказать, что число является полным квадратом тогда и только тогда, когда количество его делителей нечетно.
10.
Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2014 нулей?
11.
Некоторое натуральное число n имеет два простых делителя. Его квадрат имеет
- а)
- 15 делителей;
- б)
- 81 делитель.
Сколько делителей имеет куб этого числа?
12.
Найдите натуральное число вида
n = 2x · 3y · 5z, зная, что половина его имеет на 30
делителей меньше, треть — на 35 и пятая часть — на 42 делителя меньше, чем само число.
13.
Натуральные числа a и b имеют ровно по 99 натуральных делителей. Может ли число ab
иметь ровно 1000 натуральных делителей?
|