МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 21. Весомость

1.

На физическом кружке учитель поставил следующий эксперимент. Он разложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, …, 16 грамм так, что одна из чаш перевесила. Пятнадцать учеников по очереди выходили из класса и забирали с собой по одной гирьке, причем после выхода каждого ученика весы меняли свое положение и перевешивала противоположная чаша весов. Какая гирька могла остаться на весах?

2.

На двух чашках весов лежат гирьки так, что весы показывают равновесие. Все эти гирьки разложили по чашкам иначе, но так, что весы вновь показали равновесие. В третий раз на левую чашку поместили только те гирьки, которые оба раза уже были на ней. И на правой чашке оставили только те гирьки, которые оба раза уже были на ней. Будет ли вновь на весах равновесие?

3.

У Юры есть чашечные весы и 9 гирь с массами 1 кг, 2 кг, 3 кг, …, 9 кг. Вначале он ставит одну из гирь на любую чашку весов, а затем на каждом шаге ставит на более лёгкую чашку любую из оставшихся гирь, но так, чтобы весы при этом не оказались в равновесии. На какое наибольшее число килограммов одна чашка весов могет перевешивать другую после того, как будут выставлены все 9 гирь?

4.

На Васиной чаше двухчашечных весов лежат гири весом 1 г, 3 г, …, 2001 г, а на Петиной — 2 г, 4 г, …, 2000 г. Первым ходит Вася — он убирает по одной гири со своей чаши до тех пор, пока она не станет легче Петиной. Потом Петя убирает по одной гире со своей чаши до тех пор, пока она не станет легче Васиной. Затем опять ходит Вася, потом Петя, и так далее. Выигрывает тот, кто первым сможет убрать все гири со своей чаши. Кто выигрывает при правильной игре?

5.

По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.

6

Имеется n + 1 гирь общим весом 2n и весы с двумя чашками, находящиеся в равновесии. Вес каждой из гирь выражается натуральным числом. Гири по очереди кладут на чашки весов: сначала самую тяжелую (или одну из самых тяжелых), затем самую тяжелую из оставшихся и т. д. При этом каждую следующую гирю кладут на ту чашку весов, которая в данный момент легче, а если весы находятся в равновесии, то на любую из чашек. Докажите, что после того, как на весах окажутся все гири, весы будут находиться в равновесии.

7

Скучая в отсутствие покупателей, продавец расположил набор из ста гирек массами 1, 2, 3, …, 100 граммов в произвольном порядке: m₁, m₁, …, m₁₀₀. Покупатель заявил, что гирьки массами |m₁ − 1|, |m₂ − 2|, …, |m₁₀₀ − 100| можно расположить на двух чашах весов так, что они окажутся в равновесии. Он сумел это доказать, не прибегая к взвешиваниям. Докажите и вы.