МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год
Кружок 7 класса (рук. Е. А. Асташов) Кружок 7 класса, группа А (ст. преп. Д. А. Удимов)
Группа А. Старший преподаватель Д. А. Удимов

Занятие 13. Вокруг неравенства Коши

Для любого числа x верно, что x2 ≥ 0.
При любых a и b выполнено неравенство: a2 + b2 ≥ 2ab.
При неотрицательных a и b выполнено неравенство: a + b ≥ 2√ab.
Это неравенство, записываемое в виде (a + b)/2 ≥ √ab, называют неравенством Коши. Также его называют неравенством о средних, поскольку в нём сравниваются среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел a и b.
1.
При каких значениях a и b в неравенстве Коши левая часть равна правой?
2.
Пусть a — положительное число. Докажите, что a + 1/a ≥ 2.
3.
Докажите, что при любых значениях переменных выполнено неравенство u2 + 2uv + 2v2 + 2v + 2 > 0.
4.
Пусть a, b, c ≥ 0. Докажите, что (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc.
5.
Докажите неравенство a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac.
6.
Докажите, что при любых значениях переменных выполнено неравенство 2c2 + 2d2 − 2cd − 2c − 4d + 5 > 0.
7.
Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то эта сумма больше четырёх.
8.
Докажите неравенство a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b + c).
9.
Докажите неравенство a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c).
10.
Периметр прямоугольника равен 4. Чему максимум может быть равна его площадь?
11.
Докажите неравенство для произвольных значений переменных: a4 + b4 + 8 > 8ab.