МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год

Кружок 7 класса (рук. Е. А. Асташов)

Кружок 7 класса, группа А (ст. преп. Д. А. Удимов)

Группа А. Старший преподаватель Д. А. Удимов

Занятие 13. Вокруг неравенства Коши

Для любого числа x верно, что x² ≥ 0.
При любых a и b выполнено неравенство: a² + b² ≥ 2ab.
При неотрицательных a и b выполнено неравенство: a + b ≥ 2√ab.
Это неравенство, записываемое в виде (a + b)/2 ≥ √ab, называют неравенством Коши. Также его называют неравенством о средних, поскольку в нём сравниваются среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел a и b.

1.: При каких значениях a и b в неравенстве Коши левая часть равна правой?
2.: Пусть a — положительное число. Докажите, что a + 1/a ≥ 2.
3.: Докажите, что при любых значениях переменных выполнено неравенство u² + 2uv + 2v² + 2v + 2 > 0.
4.: Пусть a, b, c ≥ 0. Докажите, что (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc.
5.: Докажите неравенство a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac.
6.: Докажите, что при любых значениях переменных выполнено неравенство 2c² + 2d² − 2cd − 2c − 4d + 5 > 0.
7.: Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то эта сумма больше четырёх.
8.: Докажите неравенство a²b² + b²c² + c²a² ≥ abc(a + b + c).
9.: Докажите неравенство a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c).
10.: Периметр прямоугольника равен 4. Чему максимум может быть равна его площадь?
11.: Докажите неравенство для произвольных значений переменных: a⁴ + b⁴ + 8 > 8ab.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!