МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Математическая индукция

1.

Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, … число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.

2.

Любое ли целое количество рублей, большее семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и по 5 рублей? Почему?

3.

На краю пустыни имеется большой запас бензина и машина, которая при полной заправке может проехать 50 километров. Имеются канистры (в неограниченном количестве), в которые можно сливать бензин из бензобака машины и оставлять на хранение (в любой точке пустыни). Докажите, что машина сможет проехать любое расстояние. (Канистры с бензином возить не разрешается, пустые канистры можно возить в любом количестве.)

4.

Плоскость разрезана на части n прямыми, где n > 3 и не все прямые проходят через одну точку. Докажите, что хотя бы одна из частей – треугольник.

5.

На доске написаны сто цифр: нули и единицы (в произвольной комбинации). Разрешается выполнять две операции:

1. заменять первую цифру (нуль на единицу и наоборот);
2. заменять цифру, стоящую после первой единицы.

Пример.В последовательности 0011001 … можно заменить первую цифру или четвёртую.
Докажите, что с помощью нескольких таких замен можно получить любую комбинацию из ста нулей и единиц.

6.

Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что можно раскрасить эти части в белый и чёрный цвет так, чтобы соседние части (имеющие общий отрезок границы) были разного цвета.

Дополнительные задачи

7.

На доске написаны два числа 1 и 1. Вписав между числами их сумму, мы получим числа 1, 2, 1. Повторив эту операцию ещё раз, получим числа 1, 3, 2, 3, 1. После трёх операций будут числа 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1. Какова будет сумма всех чисел на доске после ста операций?

8.

Число 111 делится на 3, число 111111111 делится на 9, число 111…111 (27 единиц) делится на 27. Докажите, что число 111…111 (3ⁿ единиц) делится на 3ⁿ при любом n.

9.

Докажите, что: