МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2004/2005 учебный год

Листок 9. Неравенства. Сумма и произведение.

Маленькое примечание для тех, кто не знает, что означает, возвести число в дробную степень: число в степени ½ — это то же самое, что арифметический квадратный корень из этого числа.

1
Докажите, что x² + y² ≥ 2xy для любых x и y.
2
Докажите, что x + y ≥ 2(xy)½ для любых неотрицательных x и y.
3
Докажите, что z + 1/z ≥ 2 для любого положительного z.
4
Докажите, что при постоянной сумме двух чисел их произведение тем больше, чем ближе числа друг другу.
Например, 5 + 5 = 4 + 6 = 3 + 7 и 5 × 5 > 4 × 6 > 3 × 7.
5
Докажите, что из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.
6
Докажите, что из всех прямоугольников данной площади наименьший периметр имеет квадрат.

В следующих трех задачах решение пункта a) поможет Вам решить пункт b) и наоборот.

7
a)
Докажите неравенство: a/b + b/a ≥ 2 для любых положительных a и b.
b)
У продавца, который продаёт сахар, есть рычажные весы, которые имеют плечи не совсем одинаковой длины, и гиря весом 1 кг. Покупатель хотел купить 2 кг сахара. Так как весы показывают не совсем точно, продавец первый килограмм взвесил на одной чаше весов, а второй — на другой. Кто выиграл, покупатель или продавец?
8
a)
Докажите, что при s > 0 и v > w > 0 выполнено неравенство:
s+s≥ 2s
v + wvw(v² − w²)½
b)
Корабль плывёт из A в B по течению реки, а затем возвращается против течения (скорость течения и кораблей постоянны). Потратит ли он на весь путь больше или меньше времени, чем на равный путь по озеру?
9
a)
Докажите, что для всех положительных a и b выполнено неравенство: 2a + b ≥ 2(2ab)½. При каких a и b неравенство превращается в равенство?
b)
Прямоугольный участок около реки с трёх сторон огорожен забором (четвёртая сторона — берег, поэтому там забор не нужен). Длина забора 100 метров. Какую максимальную площадь может иметь этот участок?
10
Сколько решений имеет система из двух уравнений с тремя неизвестными?
{ x+y=2
xyz²=1

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS