МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 16. Про треугольник и не только

1

В треугольнике ΔABC проведена линия AM (M лежит на стороне BC), делящая площадь треугольника пополам. Совпадает ли она с какой-нибудь известной вам линией (медианой, высотой, биссектрисой ...)

2

В треугольнике ΔABC проведена линия AM (M лежит на стороне BC), делящая периметр треугольника пополам (AB+BM = AC+CM). Совпадает ли она с какой-нибудь известной вам линией (медианой, высотой, биссектрисой ...)

3

Треугольники ΔABC и ΔABC₁ — равнобедренные с общим основанием AB. Докажите равенство треугольников ΔACC₁ и ΔBCC₁.

4

В равнобедренном треугольнике ΔABC (AB = BC) высота AE = 12, а основание AC = 15. Найдите площадь треугольника.

5

Две параллельные прямые пересечены третьей. Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних углов.

6

Три медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников меньшего размера. Докажите, что все они имеют равную площадь.

7

Докажите, что биссектрисса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

8

Найдите длину отрезка, который высекают на средней линии трапеции её диагонали. Основания трапеции равны a и b.

9

Найдите углы ромба, если высота, проведенная из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

10

Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

11

На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ΔABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁. Известно, что луч света, пущенный из точки A₁ в точку B₁, отразившись от стороны AC попадает в точку C₁, затем, отразившись от стороны AB — в точку A₁, оттуда — снова в точку B₁ и т.д. Являются ли AA₁, BB₁ и CC₁ медианами, высотами или биссектрисами.