МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 2. Системы счисления

1

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 27; 184; 1010; 933; B219?
Переведите эти числа в десятичную систему исчисления.

2

Какие числа во всех системах счисления выглядят одинаково?

3

Что больше

a)

276₇ или 303₆?

b)

84756₇ или 84756₆?

4

Запишите числа 10 и 100 в двоичной, троичной и пятеричной системе счисления.

5

Существует ли система счисления, в которой одновременно

a)

3 + 4 = 10, 3 × 4 = 15;

b)

2 + 3 = 5, 2 × 3 = 11?

6

Один школьный учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки. Какой системой счисления он пользовался? Сколько у него учеников в десятичной системе?

7

Напишите таблицу сложения и умножения для двоичной, троичной и пятеричной системы счисления (таблица сложения (умножения) — результаты сложения (умножения) чисел, записываемых одной цифрой).

8

Вычислите в столбик

a)

101 011₂ + 111110₂, 1 011₂ × 1 011₂;

b)

122 121₃ + 212012₃, 1 122₃ × 120₃;

c)

304 234₅ + 211 234₅, 3 214₅ × 142₅;

9

В каких системах счисления справедливы равенства:

a)

6 + 3 = 11;

b)

2 × 2 = 4;

c)

2 × 2 = 10;

d)

2 × 2 = 5;

10

На доске сохранилась полустертая запись

+	2	3		5
	1		6	4	2
	4	2	4	2	3

Выясните, в какой системе счисления записан пример и восстановите слагаемые.

11

Как из числа в 100-чной системе быстро сделать число в 10-чной системе исчисления? А как из числа в n-чной системе исчисления сделать число в n²-чной системе исчисления?

12

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть только на одну чашку весов?

13

Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2 и на 3 для троичной системы счисления.

14

Сформулируйте (и докажите) условие, позволяющее определить четность числа по его записи

a)

в троичной системе счисления;

b)

в системе счисления с основанием n.

15

Рассмотрим n-ичную систему счисления. Сформулируйте и докажите признаки делимости на

a)

число n и число n² (аналогично признакам делимости на 10 и 100 в десятичной системе счисления);

b)

делитель числа n (аналогично признакам делимости на 2 и 5 в десятичной системе счисления);

16

Рассмотрим n-ичную систему счисления. Сформулируйте и докажите признаки делимости на

a)

число n − 1 (аналогично признакам делимости на 9 в десятичной системе счисления);

b)

делитель числа n − 1 (аналогично признакам делимости на 3 в десятичной системе счисления);

17

Рассмотрим n-ичную систему счисления. Сформулируйте и докажите признаки делимости на

a)

число n + 1 (аналогично признаку делимости на 11 в десятичной системе счисления);

b)

делитель числа n + 1 (аналога в десятичной системе счисления нет).