МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 6. Добъём остатки и делимость!

0.

Найдите наибольший общий делитель чисел 80089 и 10471.

1.

Найдите наибольший общий делитель чисел 111...111 и 11...11. В первом числе 100 единиц, а во втором — только 60.

2.

Найдите НОД(2¹²⁰−1, 2¹⁰⁰−1).

3.

a)

Найдите НОД(2n + 13, n + 17).

b)

Докажите, что дробь

n + 17

2n + 13

несократима.

4.

Докажите, что если 7a + b делится на 11, то и 4a − b делится на 11.

5.

Докажите, что если 7a + 8b делится на 11, то и 3a + 5b делится на 11.

6.

Докажите, что если 4a + 5b + 6c делится на 11, то и 8a − b + c делится на 11.

7.

Пусть число a делится на b без остатка, докажите тогда, что число 999...999, состоящее из a девяток, делится на число 333...333, состоящее из b троек.

8.

Сколько чисел от 1 до 1000 делится на 7? А сколько чисел не делится на 7? Сколько чисел не делится на 5? А сколько не делится ни на 5, ни на 7?

9.

Докажите, что число и сумма его цифр (в 10-чной системе счисления) имеют одинаковые остатки при делении на 9.

Совет

Совет. Вычтите из числа сумму его цифр и посчитайте остаток от деления на 9. Проделайте эту операцию сначала c 2-значным и 3-значным числами.

10.

У каждого из чисел от 1 до 1000000000 подсчитали сумму его цифр, у каждого из получившегося миллиарда чисел снова подсчитали сумму цифр, и так до тех пор, пока не получили миллиард однозначных чисел. Каких чисел получили больше всего?

11.

В стране Анчурии в обращении имеются купюры следующих достоинств: 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать миллион анчуров так, чтобы получилось ровно полмиллиона купюр?