МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2004/2005 учебный год

Версия для печати

Листок 17. Чики-брики, повтори-ка

Шла веселая собака, Чики-брики-гав! А за ней бежали гуси, Головы задрав, А за ними - поросенок, Чики-брики-хрю! Чики-брики, повтори-ка, Что я говорю?
Считалочка

1
Петя тратит 1/3 своего времени на школу, 1/5 — на игру в футбол, 1/6 — на телевизор, 1/7 — на решение задач по математике, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?
2
Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в «нормальных» м/мин) бегает таракан Валентин?
3
Наследство состоит из нескольких бриллиантов и оценивается в 1 000 000 долларов. Известно, что его можно разделить на 5, а можно и на 8 равных частей. Какую наибольшую стоимость может иметь самый маленький бриллиант?
4
Докажите, что n7 − 36n делится на 7 при любом натуральном n.
5
Даны 10 различных положительных чисел. В каком порядке их нужно обозначить a1, a2, ... , a10, чтобы сумма a1 + 2a2 + 3a3 + ... + 10a10 была наибольшей?
6
Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, ... выбрать (сохраняя порядок) сто чисел, из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих?
7
Решить уравнение x8 + 4x4 + x² + 1 = 0.
8
Внутри многоугольника произвольно выбраны две точки A и B. Докажите, что найдется такая вершина P этого многоугольника, что угол ∠ABP — тупой.
9
В войске герцога Икторна 1000 гоблинов. Любые два гоблина либо дружат, либо враждуют, либо незнакомы. Гоблины — существа малообщительные, разговаривают только с друзьями. К тому же все они в плохом настроении, поскольку у каждого гоблина любые два его друга враждуют, а любые два врага дружат. Докажите, что для того, чтобы все войско узнало о предстоящем наступлении на Данвин, герцог должен сообщить об этом не менее чем 200 гоблинам.
10*
На поверхности куба мелом отмечено 100 различных точек. Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на черный стол (причем в точности на одно и то же место) так, чтобы отпечатки от мела на столе при этих способах были разными. (Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже дает отпечаток.)

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS