МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 21. Последний

1

Найти все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.

2

a)

Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три стороны треугольника.

b)

А только одну сторону треугольника пересекать может?

c)

Какое максимальное количество сторон n-угольника может пересекать прямая, не проходящая через его вершины?

3

Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?

4

a)

Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел любой строки равнялась бы 30, а сумма чисел любого столбца равнялась бы 10?

b)

В каждой строке — 50, в каждом столбце — 25.

5*

На плоскости дано 25 точек, причем среди любых трёх из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Докажите, что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.

6

У Дениса есть игрушечная железная дорога из бесконечного количества звеньев, имеющих форму четверти окружности радиуса R (все одинаковые):

Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, Денис не сможет составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.

7

В узлах клетчатой плоскости отмечено 5 точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

8

Докажите, что для натурального n и положительного x a) (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx b) (1+¹/_n)ⁿ < 3

9*

На плоскости дано некоторое количество многоугольников (не обязательно выпуклых), каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, имеющая общие точки со всеми этими многоугольниками.