МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 8. Заминка

1.

В таблице 2004×2005 расставлены числа. Может ли быть так, что сумма чисел в каждом столбце положительна, а в каждой строке — отрицательна?

2.

В таблице m×n расставлены числа так, что сумма чисел в любой строке или столбце равна 2005. Докажите, что m = n.

3.

Может ли работа фирмы за любые 5 подряд идущих месяцев года быть прибыльной, а по итогам года — убыточной. Может ли такое положение продолжаться в течение 6 лет?

4.

Кассир считает деньги так: сначала он считает все купюры независимо от их достоинства, потом прибавляет число купюр достоинством больше 1 рубля, затем прибавляет число купюр достоинством больше 2 рублей, и так далее. Почему у него получается правильный ответ?

5.

Все грани многогранника — треугольники. Их у него n штук. Сколько у него рёбер?

6.

Для каждой вершины многогранника подсчитали, сколо граней в ней сходится, и полученные числа сложили. Доказать, что полученная сумма — чётна.

7.

При входе в библиотеку стоят две доски. На одной из них приходящие читатели записывают, сколько человек было в библиотеке, когда они пришли. На другой уходящие читатели записывают, сколько осталось человек, когда они ушли. Посетители библиотеке приходят и уходят в разных порядках. Утром и вечером в библиотеке никого не было. Доказать, что за день на обеих досках были написаны одни и те же числа.

8.

Найдите все двузначные числа, обладающие следующим свойством: если вставить между цифрами числа произвольное ненулевое количество семёрок, то полученное число делится нацело на 13.

9.

На складе стеклотары могут храниться банки из-под консервированных овощей по 0.5 л, 0.7 л и 1 л. Сейчас на складе имеется 2500 банок общей вместимостью 2004 л. Докажите, что на складе есть хотя бы одна поллитровая банка.

10.

Через точку плоскости проведены 3 прямые, разбивающие плоскость на 6 углов. Известно, что один из образовавшихся углов не превосходит полусуммы наибольшего и наименьшего угла. Докажите, что этот угол не превосходит 60.

11.

Все натуральные числа поделены на старые и новые. Известно, что если число A новое, то и число A + 2005 тоже новое, а если число B старое, то и число B + 1005 тоже старое. Сколько новых чисел может быть среди чисел от 1 до 2000?

12.

Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?

13.

На поле брани встретились армии Толстых и Тонких по 1000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил в одного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил в одного из Толстых. Наконец, каждый уцелевший Толстый ещё раз выстрелил в одного из Тонких. После этого у каждой армии кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее 500 солдат.

14.

Найти все натуральные n, такие что для любых натуральных a и b верно, по крайней мере, одно из утверждений: a делится на n, b делится на n, a + b делится на n, a − b делится на n.

15.

Никакие три диагонали некоторого 2005-угольника не пересекаются в одной точке. Сколько у него имеется точек пересечения диагоналей?

16.

50 детей сидят за круглым столом. Среди них мальчиков и девочек поровну. Докажите, что найдется ребенок, сидящий между двумя девочками.

17.

Можно ли расставить на клетчатой доске 16×16 полный комплект для игры в «морской бой» (1 кораблик 1×4, 2 кораблика 1×3, 3 кораблика 1×2 и 4 кораблика 1×1) так, чтобы на каждой вертикали и на каждой горизонтали хотя бы одна клетка была занята?

18.

Существует ли такой набор из 2005 натуральных чисел, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?