МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 4. Делимость. Остатки.
Отношение сравнимости.

1.

15a делится на 6. Верно ли, что a делится на 6?

2.

Сколько делителей имеют числа a) pq, b) p², c) p² q³ (p и q — разные простые числа).

3.

56a = 65b. Докажите, что a+b — составное.

4.

Доказать, что НОД(a,b) × НОК(a,b) = ab.

5.

Решите в целых числах x³ - 4x² - 4x - 5 = 0.

6.

Докажите, что число имеющее нечетное число делителей — точный квадрат.

7.

a² + b² делится на 21. Докажите, что a² + b² делится на 441.

8.

Существуют ли такие два числа a и b, что a² - 3b² = 8?

9.

На какую цифру заканчиваются числа a) 2¹⁰⁰ b) 777⁷⁷⁷ c) 7⁷⁷.

10.

Найдите остаток от деления на 11 числа 45¹00 - 54²00 + 121³00 .

11.

a и b делятся на k. Какие из этих чисел наверняка делятся на k: a+b, a-b, ab, ^a/_b.

12.

Число (3a + 4b + 5c) делится на 11. Докажите, что число (9a+b+4c) тоже делится на 11.

13.

Найдите наименьшее число n, такое, что n! делится на 990.

14.

Может ли n! оканчиваться ровно 5 нулями?

15.

Докажите, что число (n³ + 2n) делится на 3 при любом n.

16.

Докажите, что число (53ⁿ - 14ⁿ + 27ⁿ - 14) делится на 13 при любом n.

17.

Докажите, что дробь

12n + 1

30n + 2

несократима при любом n.

18.

Сумма двух цифр a+b делится на 7. Докажите, что число (aba)₁₀ делится на 7.

19.

Пусть p — простое число. Докажите, что для любого некратного ему натурального числа a найдется натуральное число b, такое, что ab ≡ 1 (mod p).