МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Имеются три монеты, среди которых есть одна фальшивая, весящая меньше настоящих. Как с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?
 

а) Можно ли разрезать шахматную доску с вырезанной угловой клеткой на «доминошки»?
б) А если вырезаны две противоположные угловые клетки?
 

В первый день на озере расцвела одна лилия. Каждый следующий день количество цветов на озере удваивалось, и через 20 дней все озеро покрылось цветами. Через сколько дней все озеро покрылось бы цветами, если бы в первый день на озере расцвели две лилии?
 

После битвы со Змеем Горынычем три богатыря заявили:

Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».
Добрыня Никитич: «Змея убил Алёша Попович».
Алёша Попович: «Змея убил я».

Автобус шёл из города A в город B. Чтобы прибыть в город B по расписанию, автобус должен был ехать с некоторой постоянной скоростью. Случилось так, что первую половину пути он шёл со скоростью, вдвое меньшей запланированной. Удастся ли ему наверстать упущенное время, чтобы прибыть в город B вовремя? Если да, во сколько раз ему нужно увеличить скорость?