МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 26 (7 мая 2016 года)

1.

Семь яблок раздали поровну двенадцати людям так, что каждое яблоко разделили не более, чем на пять равных долек. Сколько долек получил каждый человек? (Найдите все возможные ответы и объясните, почему других нет.)

2.

Дана прямая и монетка. Разрешается обводить монетку, прикладывая её к двум точкам. Построить какую-нибудь прямую, перпендикулярную данной (так как линейки нет, то нужно построить две точки этой прямой).

3.

Найдите все натуральные m и n, для которых выполняется равенство: m! + 12 = n².

4.

Даны сто рисунков:

Сколько точек изображено на всех ста рисунках вместе?

5.

Даны сто гексов:

Сколько точек во всех ста гексах вместе?

6.

Сверните из а) квадратного, б) прямоугольного листа бумаги тетраэдр (то бишь треугольную пирамиду).

7.

Король испытывает двух мудрецов. Он раскладывает перед первым мудрецом монеты в клетки доски 2×2 — в каждую клетку по монете, причём любой стороной. Далее король загадывает одну из монет, показывая на неё мудрецу, после чего тот должен перевернуть любую монету на свое усмотрение. Затем второй мудрец должен подойти к доске и указать на загаданную королём монету. О чём следует договориться мудрецам, чтобы это всегда удавалось?