МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 11 (28 ноября 2015 года). Простые числа

1.

В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно 23021³⁷⁷ − 1. Не опечатка ли это?

2.

Является ли число 4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰ простым?

3.

Три простых числа p, q и r больше трёх и образуют арифметическую прогрессию, то есть p = p, q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.

4.

Найдите все простые числа, представимые в виде суммы двух составных.

5.

Докажите, что если n! + 1 делится на n + 1, то n + 1 — простое.

6.

Числа p и p² + 2 — простые. Докажите, что число p³ + 2 тоже простое.

7.

Докажите, что простых чисел бесконечно много.

8.

Докажите, что если у числа нет делителей, не превосходящих \(\sqrt{n}\) (кроме единицы), то оно простое.

9.

Верно ли, что значение многочлена P(n) = n² + n + 41 равно простому числу при всех целых значениях n?

10.

Докажите, что число n⁴ + 4 составное при всех натуральных n > 1.