МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 6 (24 октября 2015 года). От меньшего к большему

1.

Из доски а) 4×4; б) 16×16; в) 2ⁿ×2ⁿ вырезана произвольная клетка. Как разрезать оставшуюся доску на «уголки» из трёх клеток?

2.

Имеются три стержня, на один из них надета пирамидка из а) двух; б) трёх; в) пяти; г) n колец различного диаметра (меньшее кольцо лежит на большем), два других — пустые. Разрешается перекладывать кольца с одного стержня на другой по одному, так чтобы большее кольцо никогда не лежало на меньшем. Как переместить всю пирамидку с исходного стержня на один из пустых?

3.

У бородатого многоугольника во внешнюю сторону растет щетина. Его пересекает несколько прямых, на каждой из которых с одной из сторон тоже растет щетина. В результате многоугольник оказался разбитым на некоторое число частей. Докажите, что хотя бы у одной из частей вся борода окажется снаружи.

4.

Любую ли сумму из целого числа рублей, больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?

5.

Прямоугольник составлен из шести квадратов (см. рисунок). Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.

6.

Докажите, что при любом n ≥ 6 квадрат можно разрезать на n меньших квадратов.

7.

Два разбойника добыли мешок золотого песка. Никаких способов измерения у них нет; каждый оценивает долю песка на глаз и хочет получить не меньше половины всей кучи, при этом мнения разбойников о величине куч могут расходиться. Как им поделить добычу? А если разбойников трое и, соответственно, каждый хочет получить не менее трети добычи? А если их пятеро и каждый требует хотя бы одну пятую?

8.

Известно, что x + 1⁄x — целое число. Докажите, что xⁿ + 1⁄{xⁿ} — также целое число при любом целом n.

9.

В прямоугольнике 3×n стоят фишки трёх цветов, по n штук каждого цвета. Докажите, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в любом столбце были фишки всех трёх цветов.