МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Руководитель Любовь Сергеевна Шатина
2015/2016 учебный год

Занятие 14 (19 декабря 2015 года). Математическая драка («+5 − 2»)

1.
Просидев первую половину урока, Петя уснул и проснулся, когда до конца осталось половина того, что он проспал. Какую часть урока он проспал?
2.
На листе бумаги нарисованы 12 точек и каждая соединена ровно с пятью другими. Сколько получилось отрезков?
3.
Два карася и три окуня весят 8100 г, а три карася и три окуня — 9600 г. Сколько весит окунь?

Ответ

Ответ. 1700 г.
4.
Собака гонится за кроликом, находящимся в 150 метрах от неё. Она делает прыжок в 9 метров каждый раз, когда кролик прыгает на 7 метров. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?
5.
В турнире играют 30 девочек и 50 мальчиков. В каждом туре все разбиваются на пары противников. В трёх турах 21 раз девочка играла против девочки. Сколько раз в этих турах мальчик играл против мальчика?
6.
Сколько чисел в промежутке от 1 до 1000 включительно не делятся ни на одно нечетное число, кроме 1?
7.
Отцу — 41 год, старшему сыну — 13 лет, дочери — 10 лет, а младшему сыну — 6 лет. Через сколько лет возраст отца окажется равным сумме лет его детей?
8.
По чистому полю едет танк. По его гусенице бежит мышка так, что всё время остаётся неподвижной относительно танка. Танк проехал 100 м, а потом героически остановился. Сколько метров пробежала за это время мышка?
9.
Сколько существует четырехзначных чисел с суммой цифр 34?
10.
Решите ребус: ЧАЙ : АЙ = 5.
11.
Сколько существует 6-значных чисел, в которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

Ответ

Ответ. 872784.
12.
Найдите хотя бы одно двузначное простое число, ни одна из цифр которого не является простым числом.
13.
На подъем с первого до третьего этажа у Пети уходит 3 минуты. За сколько минут он поднимется до девятого этажа?
14.
Рыболова спросили, сколько весила пойманная им рыба. Он ответил: „Хвост весил 4 фунта, голова столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище столько, сколько голова и хвост”. Сколько весила рыба?
15.
Расставьте скобки и знаки арифметических действий так, чтобы получилось верное равенство: 4 5 9 8 7 10 = 2000.

Ответ

Ответ. 4·5·(9 + 8 − 7)·10 = 2000.
16.
Найдите три простых числа, если одно из них равно разности кубов двух других.
17.
В Совершенном городе шесть площадей. Каждая площадь соединена прямыми улицами ровно с тремя другими площадями. Никакие две улицы в городе не пересекаются. Из трёх улиц, отходящих от каждой площади, одна проходит внутри угла, образованного двумя другими. Начертите возможный план такого города.
18.
10 игроков играли в теннис. Проигравший игру обижался и уходил. Какое наибольшее число теннисистов могло выиграть по две партии? (Ничьих не бывает).

Ответ

19.
Найдите значение произведения \[ \Big( 1-\frac14\Big)\cdot\Big(1-\frac19\Big)\cdot\Big(1-\frac1{16}\Big)\dots\Big(1-\frac1{400}\Big). \]

Ответ

Ответ. \(\frac{21}{40}\).
20.
За 5 лет обучения студент сдал 31 экзамен, причем на каждом курсе он сдавал экзаменов больше, чем на предыдущем. На 5-ом курсе экзаменов было втрое больше, чем на 1-ом курсе. А сколько экзаменов было на 4-ом курсе?

Ответ

21.
Факториал какого числа нужно вычеркнуть из произведения \(1!\cdot2!\cdot3!\cdot \dots \cdot 99! \cdot 100!\), чтобы оставшееся произведение было квадратом целого числа?

Ответ

22.
Города А и Б находятся на расстоянии 30 км друг от друга. Одновременно из обоих городов со скоростью 5 км/ч каждый выходят два путешественника — один идет из А в Б, второй — из Б в А. Одновременно с ними из города А вылетает муха, и летит вдоль дороги, пока не встречает путешественника из города Б, после чего разворачивается, долетает до путешественника из города А, снова разворачивается, и так до тех пор, пока путешественники не встретятся. Какой путь проделала муха, если ее скорость 10 км/ч?
23.
Разрежьте квадрат 8×8 на 12 разных прямоугольников.