МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 17 (5 марта 2016 года). Ещё немного геометрии

1.

Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?

1.

Верно ли, что любой пятиугольник лежит по одну сторону от не менее чем двух своих сторон?

2.

Сложите шесть спичек так, чтобы они образовали четыре равносторонних треугольника

3.

Петя утверждает, что в нарисованном им выпуклом 10-угольнике каждая диагональ параллельна какой-то из сторон. Не ошибся ли он?

4.

Дан угол, равный 19°. Разделите его на 19 равных частей с помощью циркуля и линейки.

5.

Два равносторонних треугольника ABC и CDE имеют общую вершину (см. рис.). Найдите угол между прямыми AD и BE.

6.

Докажите, что если провести прямую через две общие точки двух пересекающихся окружностей (эта прямая называется радикальной осью), то отрезки касательных, проведенные к окружностям из любой точки этой прямой, будут равны.

7.

С помощью циркуля и линейки впишите а) две; б) три касающиеся внешним образом равные окружности в заданную окружность.