МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 18 (12 марта 2016 года)

1.

Бился Иван-Царевич со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста — вырастет голова; если срубить голову, то вырастает новая голова, а если срубить две головы, то не вырастет ничего. Как должен действовать Иван-Царевич, чтобы срубить Змею все головы и все хвосты как можно быстрее?

2.

Ковбоя Джо приговорили к смертной казни на электрическом стуле. Ему известно, что из двух электрических стульев, стоящих в специальной камере, один неисправен. Кроме того, Джо известно, что если он сядет на этот неисправный стул, казнь не повторится и он будет помилован. Ему известно также, что стражник, охраняющий стулья, через день на все вопросы отвечает правду, а через день — ложь. Приговорённому разрешается задать стражнику ровно один вопрос, после чего надо выбрать, на какой электрический стул садиться. Какой вопрос Джо может задать стражнику, чтобы наверняка выяснить, какой стул неисправен?

3.

Нарисуйте ломаную, состоящую из четырех отрезков, которая проходила бы через все девять точек в узлах решётки 2×2.

4.

Города А и Б находятся на расстоянии 30 км друг от друга. Одновременно из обоих городов со скоростью 5 км/ч каждый выходят два путешественника &mdash один идет из А в Б, второй — из Б в А. Одновременно с ними из города А вылетает муха, и летит вдоль дороги, пока не встречает путешественника из города Б, после чего разворачивается, долетает до путешественника из города А, снова разворачивается, и так до тех пор, пока путешественники не встретятся. Какой путь проделала муха, если ее скорость 10 км/ч?

5.

Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит «да», «нет» или «не знаю», и по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались.

6.

На стороне BC треугольника ABC отметили точку D, так что CD = 2, BD = 1. Известно, что ∠CDA = 60°, ∠CBA = 45°. Найдите ∠ACB.

7.

В стране 15 городов, некоторые из них соединены авиалиниями, принадлежащими трём авиакомпаниям. Известно, что даже если любая из авиакомпаний прекратит полеты, можно будет добраться из каждого города в любой другой (возможно, с пересадками), пользуясь рейсами оставшихся двух компаний. Какое наименьшее количество авиалиний может быть в стране?