МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 1 (19 сентября 2015 года)

1.

У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши одной копейки. Они сложились, чтобы купить букварь на двоих, но денег всё равно не хватило. Сколько стоил букварь?

2.

Что больше: \(\dfrac{2006}{2007}\) или \(\dfrac{2007}{2008}\)?

3.

На бесконечной тропинке через каждый дюйм нарисована метка. На одной из отметок сидит хромой кузнечик, который умеет прыгать влево на 7 дюймов, а вправо — на 4 дюйма.

а)

Как кузнечику перепрыгнуть на одно деление правее?

б)

Как кузнечику перепрыгнуть на одно деление левее?

в)

Докажите, что кузнечик сможет допрыгать до любой отметки.

4.

На доске написаны числа 4, 5, 6. Каждую минуту написанные числа a, b и c стираются, и вместо них пишутся числа a + b − c, b + c − a и c + a − b. Могли ли через некоторое время на доске появиться числа 7, 8, 9?

5.

Верно ли, что если все грани многогранника — одинаковые квадраты, то это куб?

6.

Имеется линейка длиной 9 см без делений. Какое наименьшее число делений нужно нанести на линейку, чтобы ею можно было отложить отрезки любой из длин 1 см, 2 см, ..., 9 см, прикладывая линейку лишь один раз?

7.

В каждой клетке доски 5×5 сидит жук. По свистку каждый из жуков переползает в одну из соседних (по горизонтали или по вертикали) клеток. Докажите, что при этом хотя бы одна клетка освободится.

8.

Между двумя математиками, А и Б, произошел следующий диалог:
А: Сколько лет Вашим троим детям?
Б: Произведение их возрастов равно 36.
А: Этой информации мне недостаточно.
Б: Сумма возрастов моих детей равна номеру Вашего дома.
А: Этого мне тоже недостаточно.
Б: У самого старшего, который по крайней мере на год старше остальных, голубые глаза.
После последней реплики А смог в точности сказать, сколько лет детям Б. Какие числа он назвал?