МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 2 (26 сентября 2015 года)

1.

У нас есть три урны. На первой написано «Чёрные», на второй — «Белые», на третьей — «Чёрные и Белые». В одной лежат белые шары, в другой — черные, в оставшейся — и черные, и белые. Все надписи заведомо ложны. Разрешается достать один шар только из одной урны. Как определить, в какой урне что лежит?

2.

Сложите квадрат из частей, на которые разрезан крест на рисунке.

3.

Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько существует трёхзначных замечательных чисел?

4.

Легко расположить на столе пять одинаковых монет, как показано на рисунке слева. Заберём одну монету (заштрихованную), а остальные смешаем. Не используя ничего, кроме этих четырёх монет, расположите их так, как показано на рисунке справа.

5.

У Алисы есть четыре котёнка: Тигруша, Умка, Бэрримор и Пират. Пока ее не было в комнате, кто-то из них разбил фарфоровую чашку. Алиса строго допросила каждого. Вот что ответили котята:

Тигруша: 1) Чашку разбил не я. 2) Я гонялся за солнечным зайчиком 3) Пират знает, кто разбил чашку.

Умка: 1) Это не я. 2) С Пиратом я давно не разговариваю. 3) Чашку разбил Бэрримор

Бэрримор: 1) Я не виноват. 2) Чашку разбил Пират. 3) Умка лжет, когда говорит, что это я разбил чашку.

Пират: 1) Чашку разбил не я. 2) Тигруша разбил чашку. 3) Умка знает, что я не виноват, ведь мы вместе играли на ковре.

Кто из них на самом деле разбил чашку, если известно, что каждый дал ровно по два истинных ответа и по одному ложному?

Дополнительные задачи

6.

Дана дощечка с тремя отверстиями: квадратным, круглым и треугольным. Придумайте выпуклую затычку такой формы, чтобы ей можно было заткнуть каждое из отверстий.

7.

Каждую грань кубика поделили на 4 квадрата, а потом раскрасили тремя красками всю поверхность кубика так, что каждый квадрат покрашен только одной краской, и квадраты одинакового цвета не имеют общих сторон. Докажите, что квадратиков каждого цвета — ровно 8.