МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Руководитель Любовь Сергеевна Шатина
2015/2016 учебный год

Занятие 23 (16 апреля 2016 года). В целости и сохранности

1.
Существует ли целое число, произведение цифр которого равно 1980? А 1990? А 2000?
2.
Перемножили несколько натуральных чисел и получили 224, причем самое маленькое число было ровно вдвое меньше самого большого. Сколько чисел перемножили?
3.
Решите в натуральных числах уравнение:
а)
x² − y² = 31;
б)
x² − y² = 303.
4.
Найти все целочисленные решения уравнения 2nm − 16 = 3n − 2m.
5.
Решить в целых числах уравнение 3m6 + 2n4 − 6m³ + 8n² − 10 = 0.
6.
Решить в целых числах уравнение 2n + 1 = m².
7.
Докажите, что уравнение amn + bn + cm = d имеет конечное число целочисленных решений, где a ≠ 0, b, c, d — целые числа и b² + c² + d² ≠ 0.
8.
Незнайка утверждает, что сможет найти пару целых чисел (b,c), где c — простое число, для которой уравнение x² + bx + c = 0 имеет ровно два простых корня. Прав ли Незнайка?