МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 12 (5 декабря 2015 года). Комбинаторика

1.

Монету бросают пять раз. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

2.

На окружности отмечены 30 синих и 25 зелёных точек. Рассмотрим всевозможные хорды с концами в отмеченных точках. У скольких отрезков концы а) одного цвета; б) разных цветов?

3.

Сколько слов (в том числе неосмысленных) можно получить, переставляя буквы в словах а) ДУБ; б) ПОРА; в) ПАРА; г) КОЛОКОЛ; д) ГОЛОВОЛОМКА?

4.

В детском саду тарелки украшены по периметру семью кружками разных цветов. Сколько существует различных тарелок?

5.

Сколько существует различных возможностей рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглый стол с 10 креслами так, чтобы они чередовались?

6.

а)

Сколькими способами 8 детей могут выстроиться в ряд?

б)

Как изменится это число, если Петя и Коля обязательно должны стоять рядом?

в)

А если Петя и Коля обязательно должны стоять порознь?

7.

Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

8.

На школьном собрании выбирают старосту, помощника старосты и дежурного (причем это должны быть разные люди). Сколькими способами можно это сделать, если в классе учится 30 человек?

9.

На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

10.

В комнате живут трое студентов. На всех у них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек, причём все чашки, блюдца и ложки отличаются друг от друга. Сколькими способами студенты могут накрыть стол для чаепития (каждый получает чашку, блюдце и ложку)?

11.

В классе, в котором учатся Петя и Ваня — 31 человек.Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно?