МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Теория вероятностей 2

1.

Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

2.

В ящике имеется 10 белых и 15 черных шаров. Из ящика вынимаются 4 шара. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут белыми?

3.

У любопытного школьника есть три компьютера: К1, К2, К3. К1 всегда отвечает верно, К2 — всегда лжет, К3 — отвечает верно с вероятностью ⁴/₇. Школьник задает вопрос „да-нет”, потом читает ответ наугад выбранного компьютера. Какова вероятность получить правильный ответ?

4.

а)

Четверо друзей решают жребием, кто идет за соком. У них есть одна монета. Как им устроить жребий, чтобы все имели равные шансы идти?

б)

А если их не четверо, а трое?

5.

Класс, насчитывающий 25 учеников, получил один билет на интересное мероприятие. Решение, кто получит этот билет, будет принято с помощью 25 спичек (кто вытащит обгоревшую — выигрывает). Ты один из учеников этого класса, и тебе хотелось бы получить этот билет. Ты можешь записаться в очередь, по которой вы будете тянуть спички. Важно ли, на каком месте из списка ты окажешься?

6.

Выберем случайным образом действительное число, модуль которого меньше 3. Какова вероятность того, что оно положительно?

7.

Берется два случайных положительных числа X и Y, меньших 4. Найти вероятность того , что сумма этих чисел больше 1 (X + Y > 1), а разность меньше 3 (X − Y < 3).

Подсказка

Подсказка. Нарисуйте на плоскости.

8.

В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

9.

На отрезок AB длины 1 бросается точка C. Найти вероятность того, что длина меньшего из отрезков AC и CB имеет длину а) не меньшую ¹/₃; б) не большую ¹/₃.

10.

На плоскость с нанесённой сеткой квадратов со стороной a бросается монета радиуса r < ^a/₂. Найти вероятность того, что монета а) не пересечёт ни одной стороны квадрата; б) не попадёт на вершину квадрата.

11.

На школьном уроке учитель уронил тонкую пластиковую указку, которая после удара о пол раскололась на три части. Жаль, конечно. Но учитель не растерялся и задал вопрос о том, какова вероятность того, что из кусков указки можно сложить треугольник?