МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Комбинаторика 2

1.

Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно получить из слова ЛИНЕЙКА?

2.

В классе 25 человек.

a)

Сколькими способами можно выбрать трех дежурных (порядок важен) на понедельник, вторник и среду?

б)

Если порядок не важен и нужно выбрать просто троих дежурных, то сколькими способами это можно сделать?

***

3.

Сколько существует способов расположить в ряд пять 10-копеечных монет и три 50-копеечных монеты, если считать монеты одного достоинства одинаковыми?

4.

В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум?

5.

а)

Незнайка поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами он может подняться по лестнице?

б)

При спуске с той же лестницы Незнайка перепрыгивает через некоторые ступеньки (может даже через все 10). Сколькими способами он может спуститься по этой лестнице?

6.

Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой — 6 мужчинам, по третьей — 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

7.

Из колоды в 36 карт вытаскивают случайным образом 5 карт. Подсчитайте количество наборов, в которых есть ровно три туза.

8.

На танцплощадке собрались N юношей и N девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для того, чтобы станцевать вальс?

9.

Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестерка. Сколько их?

10.

Сколько существует целых чисел от 1 до 16500, которые

а)

не делятся на 5;

б)

не делятся ни на 5, ни на 3;

в)

не делятся ни на 5, ни на 3, ни на 11?

11.

Известно, что в выпуклом n-угольнике (n > 3) никакие 3 диагонали не проходят через одну точку. Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.

12.

В сериале "Тайна Санта-Барбары", участвует 20 героев. Каждую серию происходит одно из событий: некоторый герой узнает Тайну, некоторый герой узнает, что кто-то знает Тайну, некоторый герой узнает, что кто-то не знает Тайну. Какое наибольшее число серий может продолжаться сериал?