МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Занятие 1 (15.09.2012)

1.

У нас есть три урны. На первой написано «ЧЕРНЫЕ», на второй — «БЕЛЫЕ», на третьей — «ЧЕРНЫЕ И БЕЛЫЕ». В одной лежат белые шары, в другой — черные, в оставшейся — и черные, и белые. Все надписи заведомо ложны. Разрешается достать один шар только из одной урны. Как определить, в какой урне что лежит?

2.

На столе стоят 7 перевернутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

3.

На рисунке изображен символ инь-ян. Известно, что граница между инь и ян образована двумя полуокружностями. Как одной прямой разделить оба символа на две равные по площади части?

4.

Вы находитесь в пустом поезде. Это даже не поезд, а просто вагоны, они сцеплены друг с другом. Все вагоны внутри одинаковы, двери на выход из вагона закрыты, через окна ничего не видно. Вы можете включать и выключать свет в вагоне в котором находитесь, можете сходить в соседний вагон, там тоже можно включать или выключать свет. Вам известно, что вагоны стоят на кольце и сами сцеплены в кольцо, первый вагон сцеплен с последним, ходить по кругу можно сколько угодно. В момент начала решения задачи в каких-то вагонах свет уже горит, в каких-то — не горит. Ваша задача при помощи управления светом в вагонах и перемещения по ним узнать, сколько в этом кольце вагонов.

5.

На каждой половинке кости домино указано число очков — от 0 до некоторого N, большего 1. Все возможные пары чисел встречаются по одному разу (включая «дубли» — пары одинаковых чисел). Все кости домино выложены в цепочку, причем на прилегающих половинках соседних костей стоят одинаковые числа. Могут ли на концах цепочки стоять различные числа?

6.

Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?

7.

На острове живут лжецы и рыцари. Лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду. Вы оказались на распутье (раздвоение дороги), и не знаете, куда идти. Навстречу идёт человек — вы не знаете, рыцарь он или лжец. Вы можете задать один вопрос. Какой вопрос надо задать так, чтобы узнать, по какой дороге идти?

8.

В Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее 10 машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещённые дни для своих автомобилей?

9.

Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.

10.

На хоккейном поле лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьет по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?