МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Вспомогательная раскраска

1.

Шахматный конь погулял по шахматной доске и вернулся на исходное поле. Что можно сказать про число ходов, которое он мог совершить?

Указание

Указание. Для начала выясните, может ли оно равняться трём.

2.

Несколько кузнечиков сидят на одной прямой, причём расстояния между соседями одинаковы. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Саша оказаться на том месте, где в начале сидел его сосед Лёша? В какие клетки может попасть Лёша?

3.

Два коня, белый и чёрный, играют друг с другом на шахматной доске. Выигрывает тот, кто съест противника. В начале игры белый конь стоит на поле a1, а чёрный — на поле b1. Первым ходит белый конь. Докажите, что чёрный конь не сможет выиграть, даже если белый будет ему поддаваться.

4.

В каждой клетке квадрата 5×5 сидит жук. Когда погаснет свет, каждый жук в темноте переползёт на соседнюю по стороне клетку. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

5.

Замок барона Мюнхгаузена имеет вид прямоугольника размером 7×9 клеток. Каждая клетка, кроме центральной, — комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, проделана дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

6.

В трёх вершинах квадрата сидели кузнечики. Они стали играть в чехарду: один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную относительно другого. Сможет ли хоть один кузнечик попасть в четвёртую вершину квадрата?

7.

На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2000 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом (соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).

8.

Двое играют в "Морской бой" на поле 10×10. Известно, что на нём как-то расположен один четырехпалубный корабль. Какое наименьшее количество выстрелов необходимо произвести, чтобы наверняка его задеть (т.е. "ранить")?