МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Теория вероятностей

Объясним на примере, как решаются простейшие задачи по теории вероятностей.

Пример. Вася бросает игральный кубик. а) С какой вероятностью выпадет пятерка? б) С какой вероятностью на верхней грани выпадет четное число?

Решение. а) Для начала надо понять, какие числа может получить Вася, если бросает кубик. Ясно, что это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Среди этих чисел пятерка встречается только один раз. Это значит, что, если мы очень много раз будем бросать кубик, то пятерка будет выпадать примерно в ¹/₆ части из общего количества бросков. Значит, вероятность того, что выпадет пятерка, равна ¹/₆.
б) Опять же, бросая кубик, Вася может получить 1, 2, 3, 4, 5, 6. Из этих чисел нам подходят 2, 4 и 6. Значит, примерно в ³/₆ = ¹/₂ части от общего количества бросков будут выпадать четные числа. Т.е. с вероятностью ¹/₂.

В обоих пунктах задачи мы «заставляли» Васю бросать кубик много раз, а потом примерно получать, сколько раз выпадет то, что нужно. Как правило, эту часть решения обычно опускают, предполагая, что мы уже в уме много раз подбросили кубик и все поняли.

А как мы все поняли? Да просто: например, в пункте а) мы увидели, что из шести возможных чисел нам подходит только одно, а в пункте б) — что из шести чисел нам подходят только три. Отсюда и получили вероятности.

1.

В корзине лежат яблоки разных сортов: 20 красных, 35 жёлтых и 25 зелёных. С какой вероятностью случайно вынутое из корзины яблоко окажется красным?

2.

Для экзамена по математике есть 30 билетов, в 12 из них встречается вопрос по геометрии. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по геометрии.

3.

Пишется наудачу некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа равна 5?

4.

Игральный кубик бросают 2 раза.

а)

Какова вероятность того, что оба раза выпала единица?

б)

С какой вероятностью выпавшие числа будут отличаться на 3?

5.

Симметричную монету бросили 10 раз. Какова вероятность того, что

а)

все 10 раз выпал орёл?

б)

сначала выпало 5 орлов, а затем 5 решек?

в)

выпало 5 орлов и 5 решек (в произвольном порядке)?

6.

Имеются игральные кубики. Их бросают и подсчитывают сумму выпавших чисел.

а)

Какова вероятность того, что на двух кубиках в сумме выпадет 7?

б)

Какова вероятность того, что на трёх кубиках в сумме выпадет 16?

7.

Алеша, Борис, Витя, Гена и Дима нашли в зоопарке монету 1 р. и решили её разыграть. Алеша предложил бросать ее по очереди, в алфавитном порядке, и отдать тому, у кого первого выпадет решка. Если решка не выпадет ни разу, то решено отдать эту монету в какой-то благотворительный фонд. Является ли предложенный Алешей способ справелливым? Должны ли остальные мальчики согласиться с его предложением?

8.

Случайно встретились 7 человек. Что более вероятно: что все они родились в разные дни недели или хотя бы двое родились в один и тот же день недели?