МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Логика

1.

Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:
"В этой тетради ровно одно неверное утверждение";
"В этой тетради ровно два неверных утверждения";
"В этой тетради ровно три неверных утверждения";
...
"В этой тетради ровно сто неверных утверждений".
Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?

2.

Трое жителей острова (A, B и C) разговаривали между собой в саду. Проходивший мимо незнакомец спросил у A: "Вы рыцарь или лжец?" Тот ответил, но так неразборчиво, что незнакомец не смог ничего понять. Тогда незнакомец спросил у B: "Что сказал A?"
"A сказал, что он лжец", — ответил B.
"Не верьте B! Он лжет!" — вмешался в разговор островитянин C.
Кто из островитян B и C рыцарь и кто лжец?

3.

а)

Предположим, что A говорит: "Или я лжец, или B рыцарь". Кто из двух персонажей A и B рыцарь, а кто лжец?

б)

А если бы A сказал: "По крайней мере один из нас лжец". Кто из них в этом случае оказался бы лжецом, а кто рыцарем?

4.

Если у осьминога четное число ног, он всегда говорит правду. Если нечетное, то он всегда лжет. Однажды зеленый осьминог сказал темно-синему:
— У меня 8 ног. А у тебя только 6.
— Это у меня 8 ног, — обиделся темно-синий. — А у тебя всего 7.
— У темно-синего действительно 8 ног, — поддержал фиолетовый и похвастался: — А вот у меня целых 9!
— Ни у кого из вас не 8 ног, — вступил в разговор полосатый осьминог. — Только у меня 8 ног!
У кого из осьминогов было ровно 8 ног?

5.

Двух мудрецов предупредили, что завтра их поставят напротив друг друга и у каждого на лбу напишут цифру 1 или 2 (цифры могут быть одинаковыми). Каждый из них должен на бумажке написать свою предполагаемую цифру. Как действовать мудрецам, чтобы хотя бы один заведомо угадал свою цифру? (во время испытания нельзя разговаривать, подавать знаки и т.д.).

6.

Путешественник, попавший на остров рыцарей и лжецоы, встретил четырех людей и задал им вопрос: "Кто вы?". Он получил такие ответы:
Первый: "Все мы лжецы".
Второй: "Среди нас 1 лжец".
Третий: "Среди нас 2 лжеца".
Четвертый: "Я ни разу не соврал и сейчас не вру".
Путешественник быстро сообразил, кем является четвертый житель. Как он это сделал?

7.

На острове рыцарей и лжецов за совершение некоторого преступления судили двух местных жителей X и Y. Дело было в высшей степени необычно, так как об обвинителе было известно, что он либо рыцарь, либо лжец. На суде обвинитель сделал два следующих заявления:

1. X виновен.
2. X и Y не могут быть виновны оба.

К какому заключению вы бы пришли на основании этих заявлений на месте присяжных? Можно ли утверждать что-нибудь относительно виновности X или Y? Кто, по-вашему, обвинитель: рыцарь или лжец?

8.

Двум гениям сообщили по натуральному числу и сказали, что эти числа отличаются на 1. После этого они по очереди задают друг другу один и тот же вопрос: "Знаешь ли ты мое число?". Докажите, что рано или поздно один из них ответит положительно.

9.

Было у султана 12 визирей. Узнал он как-то, что у некоторых визирей неверные жены. Решил он им наказание устроить. Сделал так: каждого визиря с его женой посадили в полностью изолированные комнаты, и было им сказано, что сидеть им взаперти, пока все неверные жены не будут убиты своими супругами. Каждое утро все комнаты обходит слуга, проверяя выполнение этого условия. Как только выясняется, что все неверные жены мертвы, всех выпускают. На третий день всех выпустили, причем все верные жены остались живы. Как визири догадались?

Уточнение

Уточнение. Все визири очень умны, и сплетней во дворце предостаточно, так что каждый визирь знает, верная или неверная жена у каждого другого визиря, но ничего не знает про свою. Никакого обмена информацией, пока они взаперти, нет.