МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Рассуждаем и учимся рассуждать

Для решения некоторых задач полезно знать два определения:

1. Условие А называется необходимым для В, если всегда, когда В истинно, истинно и А. Например: для чётности целого числа необходимо, чтобы оно заканчивалось не на 5.

2. Условие А называется достаточным для В, если всегда, когда А истинно, истинно и В. Например: для чётности целого числа достаточно, чтобы оно заканчивалось на 6.

1.

Сформулируйте:

1)

Достаточное условие того, что число не делится на 3.

2)

Необходимое условие того, что число делится на 6.

3)

Необходимый и достаточный признак параллелограмма.

4)

Необходимый, но недостаточный признак параллелограмма.

5)

Достаточный, но не необходимый признак параллелограмма.

2.

Все черные коты невезучие. Коту Барсику ужасно не везет. Следует ли отсюда, что Барсик черный кот?

3.

Из четырех неравенств 2x > 70, x < 100, 4x > 25 и x > 5 два истинны и два ложны. Найдите значение x, если известно, что оно целое.

4.

Контрольную работу называем лёгкой, если за любой партой есть ученик, решивший её хотя бы наполовину, и, к тому же, не менее половины класса решило её полностью. Дайте определение сложной контрольной работы.

5.

Некоторые улитки являются горами. Все горы любят кошек. Значит, все улитки любят кошек. Верно ли это?

6.

Три друга Александр, Роман и Сергей учатся на математическом, физическом и химическом факультетах. Если Александр математик, то Сергей не физик. Если Роман не физик, то Александр математик. Если Сергей не математик, то Роман химик. Сможете ли вы определить специальности каждого?

7.

Однажды прилежный студент готовился к тестированию. Для этого он разбирал варианты прошлогодних тестов. В каком-то тесте вопрос оказался плохо пропечатанным. Однако к нему имелись ответы:

а)

все, что ниже;

б)

ничего из того, что ниже;

в)

все, что выше;

г)

одно из находящегося выше;

д)

ничего из того, что выше;

е)

ничего из вышерасположенного.

Какой ответ правильный?

8.

На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: «А», «Б», «4», «5». Что написано на противоположных сторонах карточек, неизвестно. Какое наименьшее число карточек надо перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения: «Если на одной стороне карточки написано чётное число, то на другой — гласная буква»?

10.

На n карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно 1 или −1. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех n чисел, если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел на

а)

любых трёх карточках;

б)

любых трёх карточках, лежащих подряд?

(Здесь n --- натуральное число, большее 3.)

9.

Вася ушёл из дома, чтобы поступать в МГУ. Он отправил маме три сообщения:

1)

Если я сдам математику, то физику я сдам только при условии, что не завалю сочинение.

2)

Не может быть, чтобы я завалил сочинение и математику.

3)

Достаточное условие завала по физике — это двойка по сочинению.

После экзаменов Вася вернулся домой и сказал, что из трёх сообщений ровно одно было ложным. Как Вася сдал экзамены?

Дополнительный листок

1.

Некоторые люди — европейцы. Европейцы имеют три ноги.

а)

Люди с двумя ногами не являются европейцами;

б)

европейцы, которые являются людьми, иногда имеют три ноги;

в)

европейцы с двумя ногами иногда являются людьми;

г)

людей не европейцев, с тремя ногами не бывает;

д)

люди имеют три ноги, потому что они европейцы;

е)

ни одно из вышеперечисленных.

Какой ответ правильный?

2.

Сегодня не воскресенье, а завтра не среда. Вчера была не пятница, а позавчера был не понедельник. Завтра не воскресенье, и вчера было не воскресенье. Послезавтра не суббота и не воскресенье. Вчера был не понедельник, и не среда. Позавчера была не среда, а завтра не вторник. Да, и сегодня не среда. Какой же сегодня день недели, если учесть, что одно утверждение в списке ложно?

Примечание

Примечание. Если в одном предложении два утверждения, то их следует рассматривать раздельно.

3.

Целые числа разделили на две кучки. Докажите, что хотя бы в одной из кучек всегда найдутся три числа такие, что одно из них является средним арифметическим двух других.

4.

На n карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно 1 или −1. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех n чисел, если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел на

а)

любых трёх карточках;

б)

любых трёх карточках, лежащих подряд?

(Здесь n — натуральное число, большее 3.)

5.

Слоны, носороги, жирафы. Во всех зоопарках, где есть слоны и носороги, нет жирафов. Во всех зоопарках, где есть носороги и нет жирафов, есть слоны. Наконец, во всех зоопарках, где есть слоны и жирафы, есть и носороги. Может ли быть такой зоопарк, в котором есть слоны, но нет ни жирафов, ни носорогов?