МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Игры и стратегии

1.

Два гроссмейстера по очереди ставят на шахматную доску ладьи (за один ход — одну ладью) так, чтобы они не били друг друга. Тот, кто не сможет поставить ладью, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре — первый или второй гроссмейстер?

2.

Докажите, что в игре в «крестики-нолики» на поле 3×3 при правильной игре первого игрока второй игрок выиграть не сможет.

3.

На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными — единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра - единица, то выиграл первый игрок, если двойка — то второй. Кто выиграет?

4.

Даша и Маша по очереди ломают шоколадку 6×8 (начинает Даша, за каждый ход ломается любой кусок вдоль углубления). Проигрывает тот, кто сделал последний разлом. Кто выиграет?

5.

На столе лежат две кучки камней — по 7 в каждой. За ход каждому из двух игроков разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет при правильной игре и как ему для этого надо действовать?

6.

а)

Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?

б)

Тот же вопрос для 12-угольника.

7.

Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

8.

Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычеркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1, 2, ..., 100, 101. После одиннадцати таких вычёркиваний останутся 2 числа. Первому игроку присуждается столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.

9.

На самой левой клетке полоски 1×15 стоит фишка. Два игрока по очереди передвигают ее на 1, 2 или 3 поля вправо (по их выбору). Выигрывает тот, кто первым поставит фишку на самое правое поле. Кто выиграет при правильной игре и как ему для этого надо действовать?

10.

Сначала на доске написано число ноль. Двое по очереди делают следующие ходы: игрок выбирает любое из чисел 1, 2, 3 или 4 и прибавляет его к записанному на доске числу. Выигрывает тот, кто первым назовёт число, большее 25. Есть ли у одного из игроков выигрышная стратегия? Если есть, то как он должен играть?

Дополнительный листок

1.

В коробке 30 спичек. Двое по очереди берут из коробка не более половины лежащих в нём спичек. Кто не может сделать ход — проиграл. Придумайте выигрышную стратегию.

2.

Двое играют в следующую игру: первый выписывает в ряд по своему желанию буквы А или Б (слева направо, одну за другой; по одной букве за ход), а второй после каждого хода первого меняет местами любые две из выписанных букв или ничего не меняет (это тоже считается ходом). После того, как оба игрока сделают по 1999 ходов, игра заканчивается. Может ли второй играть так, чтобы при любых действиях первого игрока в результате получился палиндром (т. е. слово, которое читается одинаково слева направо и справа налево)?

3.

Игра начинается с числа 2. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число, меньшее его. Выигрывает тот, кто получит 1024. Кто выигрывает при правильной игре и как играть чтобы выиграть?