МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Теория чисел: делимость

1.

Сформулируйте и докажите признак делимости а) на 2; б) на 10; в) на 5.

2.

Произведение двух чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите сумму этих чисел.

3.

а)

Докажите признак делимости на 4: данное число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, состоящее из двух последних цифр данного числа делится на 4.

б)

По аналогии, придумайте признак делимости на 25. Докажите его.

4.

Является ли произведение n первых простых чисел полным квадратом?

В следующих четырех задачах пригодятся признаки делимости на 3 и на 9. Попробуйте их вывести/вспомнить.

5.

Известно, что натуральное число n в 3 раза больше суммы своих цифр. Докажите, что n делится на 27.

6.

Может ли число, сумма цифр которого равна 2001, быть квадратом целого числа?

7.

Два восьмизначных числа отличаются перестановкой цифр. Может ли их разность быть равной 20072008?

8.

Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2013?

9.

Верно ли, что число делится на 27 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 27?

10.

После урока Олег поспорил с Сашей, уверяя, что он знает такое натуральное число m, что число \(\dfrac{m}{3}+\dfrac{m^2}{2}+\dfrac{m^3}{6}\) — нецелое. Прав ли Олег? И если прав, то что это за число?

Дополнительные задачи

11.

Саша решил перемножить первые 57 чисел: 1·2·...·56·57. У него получилось число, оканчивающееся на 12 нулей. Правильно ли он всё вычислил?

12.

Найдите все такие натуральные a, что \(\dfrac{2a+1}{a-2}\) — целое число.

13.

Докажите, что число, имеющее нечетное число делителей, является точным квадратом.

14.

Докажите, что все числа 10017, 100117, 1001117, ... делятся на 53.