МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Вспомнить всё

1.

На всех ребрах куба стоит по числу. На каждой грани (квадрате) пишется сумма четырех чисел, расположенных на ее ребрах (сторонах квадрата). Можно ли расставить числа 1 и −1 на ребрах так, чтобы все числа на гранях были различны?

2.

Докажите, что если a, b, c — нечетные числа, то хотя бы одно из чисел ab − 1, bc − 1, ca − 1 делится на 4.

3.

а)

В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

б)

Пусть теперь требуется выбрать не капитана с заместителем, а двух нападающих. Сколькими способами это можно сделать?

4.

В ряд записали 105 единиц, поставив перед каждой знак « + ». Сначала изменили знак на противоположный перед каждой третьей единицей, затем — перед каждой пятой, а затем — перед каждой седьмой. Найдите значение полученного выражения.

5.

Известно, что Лев лжёт по понедельникам, вторникам и средам и говорит правду во все остальные дни недели, а Единорог лжёт по четвергам, пятницам и субботам и говорит правду во все остальные дни недели. Однажды Алиса повстречала Льва и Единорога, отдыхавших под деревом. Те высказали следующие утверждения:
Лев: Вчера был один из дней, когда я лгу.
Единорог: Вчера был один из дней, когда я тоже лгу.
Из этих двух высказываний Алиса (девочка очень умная) сумела вывести, какой день недели был вчера. Что это был за день?

6.

В Трансильвании живут беспартийные (которые всегда говорят правду) и члены одной-единственной партии (которые всегда лгут). Кроме того, половина трансильванцев не в своем уме, и считает все истинные утверждения ложными и наоборот. Как с помощью одного вопроса (допускающего ответ «да-нет») выяснить,

а)

в своем ли уме ваш собеседник из Трансильвании;

б)

является ли он членом партии?

7.

Можно ли из 13 кирпичей 1×1×2 сложить куб 3×3×3 с дыркой 1×1×1 в центре?

8.

На клетчатой бумаге даны произвольные n клеток. Докажите, что из них можно выбрать не менее ⁿ/₄ клеток, не имеющих общих точек.

9.

Среди любых десяти из шестидесяти ребят найдутся трое одноклассников. Докажите, что среди всех них найдутся 15 одноклассников.

10.

Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?

Дополнительный листок

1.

а)

На рисунке изображен план города (линии — это улицы, пересечения линий — перекрестки). На улицах введено одностороннее движение: можно ехать только «вверх» или «вправо». Сколько разных маршрутов ведёт из точки A в точку B?

б)

Сколько из этих маршрутов не проходят отмеченную на плане города точку?

2.

На доску выписаны 2013 чисел. Оказалось, что сумма каждых трёх выписанных чисел также является выписанным числом. Какое наименьшее количество нулей может быть среди этих чисел?

3.

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: „Он — рыцарь!”, либо „Он — лжец!” Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

4.

Однажды, когда я гостил на острове рыцарей и лжецов, мне встретились два местных жителя. Я спросил одного из них: "Кто-нибудь из вас рыцарь?" Мой вопрос не остался без ответа и я узнал то, что хотел. Кем был островитянин, к которому я обратился с вопросом: рыцарем или лжецом? Кем был другой островитянин?

Подсказка

Подсказка. Информация в задаче достаточна для решения задачи.

5.

В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 и одна плитка 1×1. Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.

6.

Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать некоторые натуральные числа (можно использовать не все числа) так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?

7.

Чему равна сумма 1 · n + 2 · (n − 1) + … + (n − 1) · 2 + n · 1?

8.

В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 2009. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число k, то первые k чисел строки переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций 1 окажется на первом месте.