МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Михаил Владимирович Шеблаев
2011/2012 учебный год

Занятие 8 (5 ноября 2011 года). Математическая абака

Правила

Математическая абака — это командная игра-соревнование по решению задач. Все задачи выдаются для решения всем командам одновременно. Основным зачётным показателем в математической абаке является общее количество набранных очков (включая бонусы). В случае равенства очков у нескольких команд более высокое место занимает команда, имеющая большую сумму бонусов. При равенстве и этого показателя команды считаются разделившими места.

Решение задач

Каждой команде предлагается для решения 5 тем по 6 задач в каждой теме. Задачи каждой темы сдаются по порядку, от 1-й до 6-й (например, у команды не примут ответ на задачу №4, пока она не сдала ответы на задачи №1, №2 и №3 по этой же теме). На каждую задачу дается одна попытка сдать ответ. Если команда предъявляет правильный ответ на задачу, она получает за это цену задачи, а если ответ неправильный или неполный, команда получает 0 очков.

Цена первой задачи каждой темы — 10 очков, второй — 20, ..., шестой — 60 очков. Таким образом, не считая бонусов, команда может заработать за решение задач до 5·210 = 1050 очков.

Бонусы

Каждая команда дополнительно может заработать бонусы:

Бонус-горизонталь (за правильное решение всех задач одной темы) — 50 очков.
Бонус-вертикаль (за правильное решение задач с одним и тем же номером по всем темам) — цена задачи с этим номером.
Бонусы за первое решение: первая команда, получившая одну из шести возможных бонус-горизонталей или одну из шести бонус-вертикалей, получает соответствующий бонус в двойном размере.

Окончание игры

На решение задач отводится 90 минут. Команда заканчивает игру, если у нее кончились задачи или истекло общее время, отведенное для игры.

Задачи

Шахматные задачи

10.: Сколькими способами на доске 5×5 можно расположить 5 ферзей, чтобы они не били друг друга? Способы, отличающиеся поворотами и симметрией считаются различными.
Ответ

Ответ. 10.
20.: Шахматную доску по границам клеток разрезали на различные прямоугольники. Какое наибольшее число прямоугольников могло получиться? Прямоугольники считаются одинаковыми, если их можно наложить друг на друга так, чтобы совпали цвета накладываемых клеток.
Ответ

Ответ. 12.
30.: Какое наибольшее количество доминошек, занимающих две клетки, можно положить на шахматную доску, чтобы для любых двух доминошек конь мог сделать ход с какой-то клетки первой на какую-то клетку второй?
Ответ

Ответ. 32.
40.: Какое наибольшее число фигур — коней и королей, не бьющих друг друга, можно поставить на шахматную доску?
Ответ

Ответ. 6.
50.: Сколько ладей может стоять на шахматной доске, если каждая бьёт одинаковое число ладей? Укажите все варианты.
Ответ

Ответ. От 0 до 8, 10, 12, 14, 16.
60.: Шахматную доску удалось по границам клеток разрезать на 3n квадратов. Укажите все возможные значения n.
Ответ

Ответ. От 4 до 16.

Геометрия

10.: Треугольник разрезали по всем его трем биссектрисам так, что получилось 6 треугольников. Сколько среди них может оказаться равносторонних? Укажите все варианты.
Ответ

Ответ. 0.
20.: В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании равна основанию. Найдите углы треугольника (в градусах).
Ответ

Ответ. 72°, 72°, 36°.
30.: На клетчатой бумаге отмечены четыре узла сетки, образующие квадрат 4—4. Вася отметил ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник (не обязательно выпуклый) наименьшей возможной площади. Чему равна эта площадь?
Ответ

Ответ. 6.
40.: В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка K так, что угол BAK = 24°. На отрезке AK выбрана точка M так, что угол ABM = 90°, AM = 2BK. Найдите величину угла B.
Ответ

Ответ. 108°.
50.: Веревку согнули в три раза, потом снова в три раза, после чего сделали разрез (не совпадающий с линиями сгибов). Веревка распалась на куски, длины двух из которых оказались равны 2 см и 6 см. Найдите возможную длину веревки.
Ответ

Ответ. 36, 45, 63, 72.
60.: В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°, угол B = 40°. На сторонах AB и BC выбраны такие точки D и E соответственно, что EAD = 5° и ECD = 10°. Найдите угол EDC.
Ответ

Ответ. 85°.

Комбинаторика

10.: Сколько решений имеет ребус Ч×И×(С+Л+О) = 33, если разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым — одинаковые.
Ответ

Ответ. 12.
20.: Какое наибольшее число очков могла набрать команда в игре «Математическая Абака», не получившая ни одной премии? (Командам выдано 6 тем по 6 задач.)
Ответ

Ответ. 1050.
30.: Иван Ильич купил четыре игрушки: самолёт, корабль, грузовик и подъёмный кран, чтобы подарить их трём своим внукам: Пете, Мише и Коле. Он хочет раздать все четыре игрушки и не хочет, чтобы кто-то из внуков остался без игрушки. Каким числом способов он может раздать игрушки?
Ответ

Ответ. 36.
40.: Очень умные Петя и Вася выписывают четырёхзначные числа. Петя выписывает такие числа, у которых первая цифра равна сумме трёх других, а Вася такие, у которых последняя цифра равна сумме трёх других. Кто выпишет больше чисел и на сколько?
Ответ

Ответ. Петя на 54 больше.
50.: На столе в нескольких кучках лежит 15 спичек. Каждую минуту из каждой кучки берется по одной спичке, из которых образуется новая кучка. Какие кучки могут быть на столе после 2009-го хода?
Ответ

Ответ. 1, 2, 3, 4, 5, 6.
60.: На доске 100×100 расставлены числа 1, 2 и 3 так, что в каждом прямоугольнике 1×3 встречаются все три числа, а в углах стоят единицы. Если эту доску раскрасить в шахматном порядке, то сколько белых клеток будут единицами?
Ответ

Ответ. 1666 или 1667.

Текстовые задачи и логика

10.: В ряд стоят три бога — Бог Правды, Бог Лжи и Бог Дипломатии. Бог правды говорит только правду, Бог Лжи всегда лжет, а Бог Дипломатии может как солгать, так и сказать правду. Первого спрашивают: „Кто стоит рядом с тобой?” Он отвечает: „Бог Правды”. Второго спрашивают: „Кто ты?” — „Бог Дипломатии”. Третьему задают вопрос: „Кто рядом с тобой?” — „Бог Лжи”. Кто стоит посередине?
Ответ

Ответ. Бог Лжи.
20.: Сережа отпил ¹/₄ стакана черного кофе, долил молоком, хорошенько размешал, выпил ¹/₅ стакана, снова долил молоком и размешал, затем отпивал ¹/₆ и ¹/₇ стакана, каждый раз доливая молоком и размешивая. В другой раз он сначала отпил ¹/₇ стакана кофе, долил молоком и размешал, затем отпил ¹/₆ стакана и т.д. до ¹/₄ стакана. В какой раз Сережа выпил больше кофе и на сколько? Объем стакана — 250 мл.
Ответ

Ответ. Поровну.
30.: Фермер посадил 233 индейки в 6 клеток, расположенных вдоль аллеи. Известно, что в одной из крайних клеток больше всего птиц, в другой — меньше всего, причем разница составляет 13 птиц. В клетке 3 на 6 птиц больше, чем в клетке 2. В клетке 5 на 2 птицы меньше, чем в клетке 1. В клетке 4 тридцать пять птиц, на три больше, чем в той клетке, где их меньше всего. Сколько птиц во второй клетке?
Ответ

Ответ. 36.
40.: На острове, где живут только всегда правдивые рыцари и всегда лгущие лжецы, в теледебатах участвовали 9 кандидатов с номерами от 1 до 9. Каждый кандидат заявил „Кандидат, чей номер равен последней цифре квадрата моего номера — рыцарь”. Впоследствии выяснилось, что не все кандидаты были лжецами, но и рыцарей среди них было не более трех. Кто из них лжец, а кто — рыцарь?
Ответ

Ответ. 5.
50.: В пяти коробках лежат финики. Известно, что в С лежит треть фиников коробки Е, а в B — вдвое больше, чем в C и E вместе взятых. В коробке А вдвое меньше фиников, чем в Е, и на 10 меньше, чем в D. В коробке B вчетверо больше фиников, чем в D. Сколько всего фиников во всех коробках?
Ответ

Ответ. 310.
60.: На вопрос: «Сколько вам лет?» марсианки переглянулись. Одна из них улыбнулась и сказала: «Ми недавно исполнилось 22 месяца, а вот Ме постарше, ей 21 миллион лет». Вторая тоже улыбнулась: «На самом деле Ми – 21 миллион лет, а вот Мо всего 19 тысяч лет». И здесь рассмеялась третья: «Мо в действительности всего 18 недель, 21 миллион лет на самом деле Ма». А четвертая честно сообщила, что ровесниц среди них нет, и в каждом ответе одно высказывание верно, а другое – нет. Определите возраст каждой.
Ответ

Ответ. Ми — 22, Мо — 19, Ма — 21, Ме — 18.

Алгебра

10.

Найдите все такие x, что x² + 2x — точный квадрат.

Ответ

Ответ. 0, −2.

20.

Известно, что ^{(a + b)}/_{(a − b)} = 3. Найдите, чему может быть равно ^{(a² + b²)}/_{(a² − b²)}.

Ответ

Ответ. ⁵/₃.

30.

Пусть (a + b)(a + b − 1) = ab и a² − b² = 3. Найдите значение a³ − b³.

Ответ

Ответ. 3.

40.

На месте звездочек Вася расставил различные числа так, что равенство (x + *)(*x + 3) = (2x + *)(x + *) выполняется при всех x. Какое число написано на месте последней звездочки?

Ответ

Ответ. 1,5.

50.

Найдите все решения системы

{	\|`x`\| + \|`y`\| = 5
	\|\|`x`\| − `y`\| = 1.

Ответ

Ответ. (2, 3), (−2, 3), (3, 2), (−3, 2).

60.

Положительные числа x, y, z удовлетворяют условиям xyz = 1, x + ¹/_z = 5, y + ¹/_x = 29. Найдите z + ¹/_y.

Ответ

Ответ. 0,25.

Числа

10.: Если от трехзначного числа отнять 7, оно разделится на 7; если отнять 8, оно разделится на 8; если отнять 9 — оно разделится на 9. Найдите это число.
Ответ

Ответ. 504.
20.: Найти четное число, равное ¹/₅₀ суммы всех предшествующих ему нечетных натуральных чисел.
Ответ

Ответ. 200.
30.: Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на 60 равен составному числу. Какому?
Ответ

Ответ. 49.
40.: Найти три различных натуральных числа, не больших 16, сумма обратных величин которых равна ¹/₂.
Ответ

Ответ. 4, 6, 12.
50.: В выражении МАТЕМ + АТИКА каждая буква обозначает цифру, причем разные буквы обозначают разные цифры. Найдите максимально возможное значение этой суммы.
Ответ

Ответ. 187407.
60.: Найдите все натуральные числа, которые в 33 раза больше суммы своих цифр.
Ответ

Ответ. 594.